一、选择题（共10小题）.

1．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2}，B＝{5}，那么（∁UA）∪B＝（　　）

A．{0，1，2}    B．{3，4，5}    C．{1，4，5}    D．{0，1，2，5}

2．已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（　　）

A．定义域都为R    

B．值域都为R    

C．在其定义域上都是增函数    

D．都是奇函数

3．平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（　　）

A．（3，3）    B．（﹣5，1）    C．（3，﹣1）    D．（﹣3，3）

4．双曲线C：x21的渐近线与直线x＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为（　　）

A．    B．    C．2    D．

5．已知函数f（x）＝logax+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝ax+b的图象可能为（　　）

A．    B．    

C．    D．

6．已知向量（0，5），（4，﹣3），（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（　　）

A．与为共线向量    B．与垂直    

C．与的夹角为钝角    D．与的夹角为锐角

7．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（　　）

A．135平方米    B．270平方米    C．540平方米    D．1080平方米

8．已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（　　）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件    

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

9．已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（　　）

A．1    B．1    C．1    D．1+π

10．函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知f（x），g（x）＝f（x+a）（a∈R）．给出下列四个判断：

①对于给定的正整数n，存在a∈R，使得成立；

②当a时，对于给定的正整数n，存在k∈R（k≠1），使得成立；

③当a＝k（k∈Z）时，函数g（x）+f（x）既有对称轴又有对称中心；

④当a＝k（k∈Z）时，g（x）+f（x）的值只有0或．

其中正确判断的有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

二、填空题共5题，每题5分，共25分．

11．复数z的共轭复数为　   　．

12．已知cos2α，则cos2（）﹣2cos2（π﹣α）的值为　   　．

13．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：

①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；

②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．

其中，正确结论的序号为　   　．

14．从下列四个条件①ac；②C；③cosB；④b中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为　   　．

15．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为　   　．

三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝CD＝1，AD＝2，E为AD中点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②．

（Ⅰ）求证：平面A1EB⊥平面A1ED；

（Ⅱ）若∠A1ED＝90°，求A1C与平面A1BD所成角的正弦值．

17．已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足a3＝1，S3＝3a2+1．{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，如图_____，Tn的图象经过A，B两个点．

（Ⅰ）求Sn；

（Ⅱ）若存在正整数n，使得bn＞Sn，求n的最小值．

从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．

18．某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a，b．

（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；

（Ⅱ）求a，b的值；

（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者（不包含甲）调整到项目D，试判断Eξ如何变化（结论不要求证明）．

19．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，﹣1），离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B（1，0），求证：点M不在以AB为直径的圆上．

20．已知f（x）＝ex+sinx+ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝﹣2时，求证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；

（Ⅱ）若对任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若f（x）有最小值，请直接给出实数a的取值范围．

21．设数列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn．已知ai，bj∈{0，1}（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n），定义n×n数表，其中xij．

（Ⅰ）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出X（A，B）；

（Ⅱ）若A，B是不同的数列，求证：n×n数表X（A，B）满足“xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）”的充分必要条件为“ak+bk＝1（k＝1，2，…，n）”；

（Ⅲ）若数列A与B中的1共有n个，求证：n×n数表X（A，B）中1的个数不大于．

参

一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2}，B＝{5}，那么（∁UA）∪B＝（　　）

A．{0，1，2}    B．{3，4，5}    C．{1，4，5}    D．{0，1，2，5}

【分析】进行补集和并集的运算即可．

解：∵U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2}，B＝{5}，

∴∁UA＝{3，4，5}，（∁UA）∪B＝{3，4，5}．

故选：B．

2．已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（　　）

A．定义域都为R    

B．值域都为R    

C．在其定义域上都是增函数    

D．都是奇函数

【分析】根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可．

解：函数y＝log3x的定义域为（0，+∞），即A错误；

函数y＝3x的值域是（0，+∞），即B错误；

函数y＝3x和y＝log3x是非奇非偶函数，即D错误，

故选：C．

3．平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（　　）

A．（3，3）    B．（﹣5，1）    C．（3，﹣1）    D．（﹣3，3）

【分析】设D（x，y），由四边形ABCD为平行四边形，得，由此能求出D点的坐标．

解：设D（x，y），

∵点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），

且四边形ABCD为平行四边形，

∴，∴（x，y﹣1）＝（3，2），

解得x＝3，y＝3，

∴D点的坐标为（3，3）．

故选：A．

4．双曲线C：x21的渐近线与直线x＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为（　　）

A．    B．    C．2    D．

【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，与直线x＝1联立求出|AB|的值，进而求出|b|的值，求出双曲线的离心率．

解：由双曲线的方程可得a＝1，且渐近线的方程为：y＝±bx，

与x＝1联立可得y＝±b，所以|AB|＝|2b|，

由题意可得4＝2|b|，解得|b|＝2，c2＝a2+b2，

所以双曲线的离心率e，

故选：D．

5．已知函数f（x）＝logax+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝ax+b的图象可能为（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y＝ax+b的图象单调递增，且由y＝ax的图象向下平移超过1个单位，结合选项即可判断．

解：结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，

结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y＝ax+b的图象单调递增，且由y＝ax的图象向下平移超过1个单位，

结合选项可知，D符合题意．

故选：D．

6．已知向量（0，5），（4，﹣3），（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（　　）

A．与为共线向量    B．与垂直    

C．与的夹角为钝角    D．与的夹角为锐角

【分析】根据题意，求出向量（）的坐标，进而由向量平行、垂直的判断方法分析可得答案．

解：根据题意，向量（0，5），（4，﹣3），（﹣2，﹣1），则（﹣4，8），

又由（﹣2，﹣1），有（﹣4）×（﹣1）≠（﹣2）×8，则（）与不是共线向量，

（﹣2，﹣1），则（）•（﹣4）×（﹣2）+（﹣1）×8＝0，则（）与垂直；

故选：B．

7．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（　　）

A．135平方米    B．270平方米    C．540平方米    D．1080平方米

【分析】根据扇形的面积公式计算即可．

解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为

Slr45270（平方米）．

故选：B．

8．已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（　　）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件    

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

【分析】根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可．

解：f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）2ax，

a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，

故a＞0⇒f（x）递增，是充分条件，

由f（x）递增，得a＞0或a＝0，不是必要条件，

故选：A．

9．已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（　　）

A．1    B．1    C．1    D．1+π

【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．

解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为1的正方体和一个底面半径为，高为1的半个圆柱．

如图所示：

所以：V．

故选：C．

10．函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知f（x），g（x）＝f（x+a）（a∈R）．给出下列四个判断：

①对于给定的正整数n，存在a∈R，使得成立；

②当a时，对于给定的正整数n，存在k∈R（k≠1），使得成立；

③当a＝k（k∈Z）时，函数g（x）+f（x）既有对称轴又有对称中心；

④当a＝k（k∈Z）时，g（x）+f（x）的值只有0或．

其中正确判断的有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【分析】对于①，易知当时，n∈N•，都符合；对于②，即成立，取k＝0即可证明结论成立；对于③④，分别取k＝1，2，3，4，结合函数图象的平移变换即可得出③对④错；综合即可得出正确选项．

解：对于①，要使成立，即，

当时，n∈N•，都符合，故①正确；

对于②，要使成立，即，

取k＝0，此时，故②正确；

对于③④，当k＝1，k＝3时，g（x）为将f（x）左移个单位，此时周期变为，既有对称轴也有对称中心，值域为，

当k＝2时，g（x）为将f（x）左移个单位，此时g（x）+f（x）＝0，

当k＝4时，g（x）为将f（x）左移T个单位，此时g（x）+f（x）＝2f（x），故③正确，④错误；

故选：C．

二、填空题共5题，每题5分，共25分．

11．复数z的共轭复数为　﹣1+i　．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

解：∵z，

∴．

故答案为：﹣1+i．

12．已知cos2α，则cos2（）﹣2cos2（π﹣α）的值为　﹣1　．

【分析】由cos2α求得cos2α的值，再化简并计算所求三角函数值．

解：由cos2α，得2cos2α﹣1，即cos2α；

所以cos2（）﹣2cos2（π﹣α）＝sin2α﹣2cos2α

＝1﹣3cos2α

＝1﹣3

＝﹣1．

故答案为：﹣1．

13．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：

①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；

②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．

其中，正确结论的序号为　①②　．

【分析】由同垂直于同一平面的两直线平行，可判断①；由同垂直于同一直线的两平面平行，可判断②；考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断③．

解：α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，

对于①，若m⊥α，n⊥α，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得m∥n，故①正确；

对于②，若m⊥α，m⊥β，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得α∥β，故②正确；

对于③，若α⊥γ，β⊥γ，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断α、β相交，则α∥β不正确．

故答案为：①②．

14．从下列四个条件①ac；②C；③cosB；④b中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为　①③④，，或者②③④，　．

【分析】由①②结合正弦定理可得，，可求sinA，但是A不唯一，故所选条件中不能同时有①②，只能是①③④或②③④，

若选①③④，结合余弦定理可求c；若选②③④，结合正弦定理即可求解．

解：由①②结合正弦定理可得，，

所以sinAsinC，此时A不唯一，故所选条件中不能同时有①②，

故只能是①③④或②③④，

若选①③④ac，cosB，b，

由余弦定理可得，，

解可得，c；

若选②③④，C，cosB，b，

∴sinB，且B为钝角，

由正弦定理可得，，

解可得，c．

故答案为①③④，，②③④，．

15．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为　5　．

【分析】求出每天的平均费用关于n的式子，利用基本不等式得出结论．

解：每个周期内的总费用为5000+400+400×2+400×3+…+400（n﹣1）＝5000+200n（n﹣1），

∴每个周期内每天的平均费用为：200n﹣200≥2200＝1800，

当且仅当200n即n＝5时取等号．

故答案为：5．

三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝CD＝1，AD＝2，E为AD中点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②．

（Ⅰ）求证：平面A1EB⊥平面A1ED；

（Ⅱ）若∠A1ED＝90°，求A1C与平面A1BD所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）证明BE⊥AD．BE⊥A1E，BE⊥DE．然后证明BE⊥平面A1DE．即可证明平面A1EB⊥平面A1DE．

（Ⅱ）建立以E为原点，EB，ED，DA为x，y，z轴的空间直角坐标系E﹣xyz．求出平面A1BD的法向量，结合，利用空间向量的数量积求解直线A1C与平面A1BD所成角的正弦函数值．

【解答】（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝1，AD＝2，E为AD中点，

所以 BE⊥AD．

故 图②中，BE⊥A1E，BE⊥DE．

又 因为A1E∩DE＝E，A1E，DE⊂平面A1DE，

所以 BE⊥平面A1DE．

又 因为BE⊂平面A1EB，

所以 平面A1EB⊥平面A1DE．

（Ⅱ）解：由∠A1ED＝90°得A1E⊥DE，

又 A1E⊥BE，BE⊥DE，

因此，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz．

由A1E＝CD＝DE＝1，

得A1（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），，，

设平面A1BD的法向量为（x，y，z），

则即，令z＝1得x＝1，y＝1，

所以（1，1，1）是平面A1BD的一个法向量．

又 ，

设直线A1C与平面A1BD所成角为θ，

所以．

17．已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足a3＝1，S3＝3a2+1．{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，如图_____，Tn的图象经过A，B两个点．

（Ⅰ）求Sn；

（Ⅱ）若存在正整数n，使得bn＞Sn，求n的最小值．

从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．

【分析】（Ⅰ）设{an}为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和；

（Ⅱ）分别考虑图①、②、③，判断数列{bn}的单调性，选择②③均可能满足“存在n，使得bn＞Sn”．讨论两种情况，等差数列的通项公式和恒成立思想，即可得到所求最小值．

解：（Ⅰ）设{an}为公比为q的等比数列，

由a3＝1，S3＝3a2+1，得a1＝2a2，即q，a1q2＝1，

所以，a1＝4．

所以；

（Ⅱ）由图①知：T1＝b1＝1，T3＝﹣3，可判断d＜0，数列{bn}是递减数列；

而{8﹣23﹣n}递增，由于b1＜S1，

所以选择①不满足“存在n，使得bn＞Sn”；

由图②知：T1＝b1＝1，T3＝6，可判断d＞0，数列{bn}是递增数列；

由图③知：T1＝b1＝﹣3，T3＝0，可判断d＞0，数列{bn}是递增数列．

所以选择②③均可能满足“存在n，使得bn＞Sn”．

第一种情况：

如果选择条件②即T1＝b1＝1，T3＝6，可得：d＝1，bn＝n．

当n＝1，2，3，4，5，6，7时，bn＞Sn不成立，

当n＝8时，，

所以 使得bn＞Sn成立的 n的最小值为8．

第二种情况：

如果选择条件③即T1＝b1＝﹣3，T3＝0，可得：d＝3，bn＝3n﹣6．

当n＝1，2，3，4时，bn＞Sn不成立，

当n＝5时，成立，

所以 使得bn＞Sn成立的n的最小值为5．

18．某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a，b．

（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；

（Ⅱ）求a，b的值；

（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者（不包含甲）调整到项目D，试判断Eξ如何变化（结论不要求证明）．

【分析】（Ⅰ）由，得a＞60，且b＞80．设事件A表示“甲同学被项目A招募”，则；设事件B表示“甲同学被项目B招募”，则；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，则；设事件D表示“甲同学被项目D招募”，则，由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ξ＝4”是对立的，由此能求出甲同学至多获得三个项目招募的概率．

（Ⅱ）由题意可知，，，由此能求出a，b．

（Ⅲ）Eξ变大．

解：（Ⅰ）因为，

所以a＞60，且b＞80．

设事件A表示“甲同学被项目A招募”，由题意可知，；

设事件B表示“甲同学被项目B招募”，由题意可知，；

设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知，；

设事件D表示“甲同学被项目D招募”，由题意可知，，

由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ξ＝4”是对立的，

所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 ，

（Ⅱ）由题意可知，，

，

解得a＝120，b＝160．

（Ⅲ）Eξ变大．

19．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，﹣1），离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B（1，0），求证：点M不在以AB为直径的圆上．

【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出求出a，b然后得到椭圆方程．

（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及线段PQ的中点为M，结合向量的数量积，判断点M不在以AB为直径的圆上．

【解答】（Ⅰ）解：由题意可知

解得

所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）．

由得 （4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，

所以△＝（﹣8k2）2﹣4×（4k2+1）（4k2﹣4）＝48k2+16．

所以当k为任何实数时，都有△＞0．

所以 ，．

因为线段PQ的中点为M，

所以 ，，

因为 B（1，0），

所以 ，．

所以 

．

又因为 k≠0，，

所以 ，

所以点M不在以AB为直径的圆上．

20．已知f（x）＝ex+sinx+ax（a∈一、选择题）．

（Ⅰ）当a＝﹣2时，求证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；

（Ⅱ）若对任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若f（x）有最小值，请直接给出实数a的取值范围．

【分析】（I）把a＝﹣2代入后对函数求导，然后结合单调性与导数关系即可证明；

（II）由已知不等式恒成立可转化为求解相应函数的取值范围或最值问题，结合导数对a进行分类讨论可求；

（III）结合最值与极值及导数关系可求．

【解答】（Ⅰ）解：a＝﹣2，f'（x）＝ex+cosx﹣2，

当 x＜0时，ex＜1，cosx≤1，

所以 f'（x）＝ex+cosx﹣2＜0．

所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．

（Ⅱ）解：当x＝0时，f（x）＝1≥1，对于a∈R，命题成立，

当 x＞0时，设g（x）＝ex+cosx+a，

则g'（x）＝ex﹣sinx．

因为 ex＞1，sinx≤1，

所以 g'（x）＝ex﹣sinx＞1﹣1＝0，g（x）在（0，+∞）上单调递增．

又g（0）＝2+a，

所以g（x）＞2+a．

所以f'（x）在（0，+∞）上单调递增，且f'（x）＞2+a．

①当a≥﹣2时，f'（x）＞0，

所以 f（x）在（0，+∞）上单调递增．

因为 f（0）＝1，

所以f（x）＞1恒成立．

②当a＜﹣2时，f'（0）＝2+a＜0，

因为f'（x）在[0，+∞）上单调递增，

又当 x＝ln（2﹣a）时，f'（x）＝﹣a+2+cosx+a＝2+cosx＞0，

所以 存在x0∈（0，+∞），对于x∈（0，x0），f'（x）＜0恒成立．

所以 f（x）在（0，x0）上单调递减，

所以 当x∈（0，x0）时，f（x）＜f（0）＝1，不合题意．

综上，当a≥﹣2时，对于x≥0，f（x）≥1恒成立．

（Ⅲ）解：a＜0．

21．设数列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn．已知ai，bj∈{0，1}（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n），定义n×n数表，其中xij．

（Ⅰ）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出X（A，B）；

（Ⅱ）若A，B是不同的数列，求证：n×n数表X（A，B）满足“xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）”的充分必要条件为“ak+bk＝1（k＝1，2，…，n）”；

（Ⅲ）若数列A与B中的1共有n个，求证：n×n数表X（A，B）中1的个数不大于．

【分析】（I）根据xij得出X（A，B）的各行各列的数值；

（II）根据ai＝bj⇔ai＝1﹣aj⇔ai+aj＝1⇔aj＝1﹣ai⇔aj＝bi证明充分性，根据a1，b1的各种不同取值分类证明必要性；

（III）讨论ai的不同取值，计算X（A，B）的第i行中1的个数，从而得出X（A，B）中1的总数，利用基本不等式得出结论．

【解答】（Ⅰ）解：．

（Ⅱ）证明：充分性

若ak+bk＝1（k＝1，2，…，n），由于xij，xji，

令 A：a1，a2，…，an，由此数列 B：1﹣a1，1﹣a2，…，1﹣an．

由于 ai＝bj⇔ai＝1﹣aj⇔ai+aj＝1⇔aj＝1﹣ai⇔aj＝bi．

从而有 xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）．

必要性

若xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）．

由于A，B是不同的数列，

（1）设a1＝1，b1＝0，对任意的正整数k＞1，

①若x1k＝xk1＝1，可得 a1＝bk＝1，ak＝b1＝0，

所以  ak+bk＝1．

②若x1k＝xk1＝0，可得 bk＝0，ak＝1，

所以  ak+bk＝1．

同理可证 a1＝0，b1＝1时，有ak+bk＝1（k＝1，2，…，n）成立．

（2）设a1＝1，b1＝1，对任意的正整数k＞1，

①若x1k＝xk1＝1，可得a1＝bk＝1，ak＝b1＝1，

所以有ak＝bk＝1，则A，B是相同的数列，不符合要求．

②若x1k＝xk1＝0，可得bk＝0，ak＝0，

所以有ak＝bk，则A，B是相同的数列，不符合要求．

同理可证 a1＝0，b1＝0时，A，B是相同的数列，不符合要求．

综上，有n×n数表X（A，B）满足“xij＝xji”的充分必要条件为“ak+bk＝1（k＝1，2，…，n）”．

（Ⅲ）证明：由于数列A，B中的1共有n个，设A中1的个数为p，

由此，A中0的个数为n﹣p，B中1的个数为n﹣p，B中0的个数为p．

若 ai＝1，则数表X（A，B）的第i行为数列B：b1，b2，…，bn，

若 ai＝0，则数表X（A，B）的第i行为数列B：1﹣b1，1﹣b2，…，1﹣bn，

所以 数表X（A，B）中1的个数为．

所以 n×n数表X（A，B）中1的个数不大于．

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