数　　学

(满分160分，考试时间120分钟)

2018．1

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A＝{1，3}，B＝{1，2，m}．若A∪B＝B，则实数m＝__________．

2. 若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a＝________．

3. 某高有学生2 800人，其中高一年级960人，高三年级900人．现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为________．　

Read a

　S←0

　I←1

While I≤3

　S←S＋a

　a←a×2

　I←I＋1

End While

Print S

 　　　　(第5题)

4. 已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：2x＋y－1＝0，l2：ax－by＋3＝0，则直线l1⊥l2的概率为________．

5. 根据如图所示的伪代码，当输入a的值为3时，最后输出的S的值为________．

6. 若直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5.若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．

7. 已知变量x，y满足目标函数z＝3x＋y的最小值为5，则c的值为________．

8. 若函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin(2x－)的图象重合，则φ＝________．

9. 已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1·a2·…·an的最大值为________．

10. 过圆x2＋y2＝16内一点P(－2，3)作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ABCD的面积为________．

11. 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离心率互为倒数．设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为________．

12. 在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝，M为DC的中点，N为平面ABCD内一点，若|－|＝|－|，则·＝________．

13. 已知函数f(x)＝g(x)＝－x2－2x－2.若存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0，则实数b的取值范围是________．

14. 若函数f(x)＝(x＋1)2|x－a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF.求证：

(1) AC⊥平面BDE；

(2) AC∥平面BEF.

16. (本小题满分14分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝，C＝2A.

(1) 求cos B的值；

(2) 若ac＝24，求△ABC的周长．

17. (本小题满分14分)

如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，∠CAB＝，AB⊥BD，是以A点为圆心，半径为1 km的圆弧型小路．该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线­PQ，其中P为上异于B，C的一点，PQ与AB平行，设∠PAB＝θ.

(1) 求证：观光专线­PQ的总长度随θ的增大而减小；

(2) 已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍．当θ取何值时，观光专线­PQ的修建总成本最低？请说明理由．

18. (本小题满分16分)

已知椭圆E：＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别为左、右顶点，原点O到直线BD的距离为.设点P在第一象限，且PB⊥x轴，连结PA交椭圆于点C.

(1) 求椭圆E的方程；

(2) 若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求直线PA的方程；

(3) 求过点B，C，P的圆的方程(结果用t表示)．

19. (本小题满分16分)

已知数列{an}满足(1－)(1－)…(1－)＝，n∈N*，Sn是数列{an}的前n项的和．

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；

(3) 是否存在k∈N*，使得为数列{an}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

20. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝ex(3x－2)，g(x)＝a(x－2)，其中a，x∈R.

(1) 求过点(2，0)和函数y＝f(x)图象相切的直线方程；

(2) 若对任意x∈R，有f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围；

(3) 若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜g(x0)，求a的取值范围.

2018届高三模拟考试试卷(二)

数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. B. (选修42：矩阵与变换)(本小题满分10分)

已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为a1＝[]，属于特征值λ2的一个特征向量为a2＝[]．求矩阵A.

C. (选修44：坐标系与参数方程)(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若圆C的极坐标方程是ρ＝4sin θ，且直线l与圆C相交，求实数m的取值范围．

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A，D两辆汽车每天出车的概率为，B，C两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相对的．该公司所在地区汽车限行规定如下：

(2) 设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ξ的分布列和数学期望．

23.在四棱锥P ­ ABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，E是线段AB的中点，PE⊥底面ABCD，已知DA＝AB＝2BC＝2.

(1) 求二面角P ­ CD ­ AB的正弦值；

(2) 试在平面PCD上找一点M，使得EM⊥平面PCD.

2018届高三模拟考试试卷(二)(无锡)

数学参及评分标准

1. 3　2. 6　3. 47 　4.　5. 21　6. 50π　7. 5　8.　9. 1 024　10. 19　11. 8　12. 6　13. (－2，0)

14. (－∞，－1]∪[，＋∞)

15. 证 明：(1) 因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC.(2分)

因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.(4分)

因为DE∩BD＝D，所以AC⊥平面BDE.  (6分)

(2) 设AC∩BD＝O，取BE中点G，连结FG，OG，

所以OG∥DE且OG＝DE.  (8分)

因为AF∥DE，DE＝2AF，所以AF∥OG且AF＝OG, 

从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥AO.(10分)

因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，

所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF.(14分)

16. 解：(1) 因为cos A＝，

所以cos C＝cos 2A＝2cos2A－1＝2×()2－1＝.　(3分)

在△ABC中，因为cos A＝，所以sin A＝.(4分)

因为cos C＝，所以sin C＝＝，(5分)

所以cos B＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝.(7分)

(2) 根据正弦定理＝，所以＝.

又ac＝24，所以a＝4，c＝6，(10分)

b2＝a2＋c2－2accos B＝25, b＝5.

所以△ABC的周长为15.(14分)

17. (1) 证明：由题意，∠CAP＝－θ，所以＝－θ.

又PQ＝AB－APcos θ＝1－cos θ，

所以观光专线的总长度f(θ)＝－θ＋1－cos θ＝－θ－cos θ＋＋1，0<θ<.(3分)

因为当0<θ<时，f′(θ)＝－1＋sin θ<0，(5分)

所以f(θ)在(0，)上单调递减，即观光专线­PQ的总长度随θ的增大而减小．(6分)

(2) 解：设翻新道路的单位成本为a(a>0)，

则总成本g(θ)＝a(－θ＋2－2cos θ)＝a(－θ－2cos θ＋＋2)，0<θ<，(8分)

g′(θ)＝a(－1＋2sin θ)，(9分)

令g′(θ)＝0，得sin θ＝.因为0<θ<，所以θ＝，(10分)

当0<θ<时，g′(θ)<0，当<θ<时，g′(θ)>0.(12分)

所以当θ＝时，g(θ)最小．(13分)

答：当θ＝时，观光专线­PQ的修建总成本最低．(14分)

18. 解：(1) 因为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，所以a2＝2c2，b＝c，(1分)

所以直线DB的方程为y＝－x＋b.

又O到直线BD的距离为，所以＝，所以b＝1，a＝，(3分)

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(4分)

(2) 设P(，t)，t>0，

直线PA的方程为y＝(x＋)．(5分)

由整理得(4＋t2)x2＋2t2x＋2t2－8＝0，

解得xC＝，则点C的坐标是(，)．(7分)

因为△ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以△AOC的面积等于△BPC的面积，

S△AOC＝××＝，S△PBC＝×t×(－)＝，

则＝，解得t＝.(9分)

所以直线PA的方程为x－2y＋＝0.(10分)

(3) 因为B(，0)，P(，t)，C(，)，

所以BP的垂直平分线为y＝，BC的垂直平分线为y＝x－，

所以过B，C，P三点的圆的圆心为(，)，(12分)

则过B，C，P三点的圆的方程为[x－]2＋(y－)2＝＋，(14分)

即所求圆的方程为x2－x＋y2－ty＋＝0.(16分)

19. 解：(1) 因为(1－)(1－)…(1－)＝，n∈N*，

所以当n＝1时，1－＝，a1＝2；(1分)

当n≥2时，由(1－)(1－)…(1－)＝和(1－)(1－)…(1－)＝，

两式相除可得1－＝，即an－an－1＝1(n≥2)．

所以数列是首项为2，公差为1的等差数列．于是an＝n＋1.(4分)

(2) 因为ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，

所以解得或(7分)

当时，　解得

当时，　无正整数解，

所以p＝5，q＝9.(10分)

(3) 假设存在满足条件的正整数k，使得＝am(m∈N*)，

则＝m＋1，

平方并化简，得(2m＋2)2－(2k＋3)2＝63，(11分)

则(2m＋2k＋5)(2m－2k－1)＝63，　(12分)

所以或或　(14分)

解得或或(舍去)．

综上所述，k＝3或14.(16分)

20. 解：(1) 设切点为(x0，y0)，f′(x)＝ex(3x＋1)，则切线斜率为ex0(3x0＋1)，

所以切线方程为y－y0＝ex0(3x0＋1)(x－x0)．

因为切线过(2，0)，所以－ex0(3x0－2)＝ex0(3x0＋1)(2－x0)，

化简得3x－8x0＝0，解得x0＝0或.　(3分)

当x0＝0时，切线方程为y＝x－2；　(4分)

当x0＝时，切线方程为y＝9ex－18e.　(5分)

(2) 由题意，对任意x∈R有ex(3x－2)≥a(x－2)恒成立，

① 当x∈(－∞，2)时，a≥⇒a≥max，

令F(x)＝，则F′(x)＝，令F′(x)＝0得x＝0，

② 当x＝2时，恒成立，故此时a∈R.  (8分)

③ 当x∈(2，＋∞)时，a≤⇒a≤min，

令F′(x)＝0⇒x＝，

(3) 因为f(x)令F(x)＝，则

当x∈(－∞，2)，存在唯一的整数x0使得f(x0)因为F(0)＝1最大，F(－1)＝，F(1)＝－，所以当a<时，有两个整数成立，

所以a∈[，1)．　(14分)

当x∈(2，＋∞)，存在唯一的整数x0使得f(x0)存在唯一的整数x0成立．

因为F()＝9e最小，且F(3)＝7e3，F(4)＝5e4，所以当a>5e4时，有两个整数成立，

所以当a≤7e3时，没有整数成立，所以a∈(7e3，5e4]．

综上，a∈[，1)∪(7e3，5e4]．　(16分)

2018届高三模拟考试试卷(二)(无锡)

数学附加题参及评分标准

21. B. 解：由矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为α1＝[]，可得

[][]＝λ1[]，即；　(2分)

得a＝2b＝10.　(4分)

由矩阵A属于特征值λ2的一个特征向量为α2＝[]，

可得[][]＝λ2[]，即　(6分)

得2a－3b＝9，　(8分)

解得即A＝[]．　(10分)

C. 解：由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，所以x2＋y2＝4x，

即圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4. (3分)

由消去t，得x－y＋m＝0.(6分)

由直线l与圆C相交，

所以<2，解得－222. 解：(1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A，

则A：该公司在星期四最多有一辆汽车出车，

P(A)＝()2()2＋C ()()()2＋C ()()()2＝.

∴ P(A)＝1－P(A)＝.(3分)

答：该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为.(4分)

(2) 由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，则

P(ξ＝0)＝()2()2＝；

P(ξ＝1)＝C ()()()2＋C ()()()2＝；

P(ξ＝2)＝()2()2＋()2()2＋C ()2C ()()＝；

P(ξ＝3)＝()2C ()()＋()2C ()2＝；

P(ξ＝4)＝()2()2＝.(8分)

ξ的分布列为

答：ξ的数学期望为.(10分)

23. 解：(1) 因为PE⊥底面ABCD，过E作ES∥BC，则ES⊥AB.

以E为坐标原点，EB方向为x轴的正半轴，ES方向为y轴的正半轴，EP方向为z轴的正半轴建立空间直角坐标系，

则E(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，

A(－1，0，0)，D(－1，2，0)，P(0，0，)，

＝(－2，1，0)，＝(1，1，－)．(2分)

设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，

则解得n＝(1，2，)．

又平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，(3分)

所以cos〈n，m〉＝＝＝，(4分)

所以sin〈n，m〉＝.　(5分)

(2) 设M点的坐标为(x1，y1，z1)，因为EM⊥平面PCD，

所以∥n，即＝＝，即y1＝2x1，z1＝x1.(6分)

又＝(x1，y1，z1－)，＝(－1，2，－)，＝(1，1，－)，

所以＝λ＋μ＝(λ－μ，λ＋2μ，－λ－μ)，

所以得x1＝λ－μ，y1＝λ＋2μ＝2x1＝2(λ－μ)，即λ＝3μ，　(8分)

z1－＝－λ－μ，λ＝，所以μ＝，(9分)

所以M点的坐标为(，，)．(10分)下载本文