数 学
(满分160分,考试时间120分钟)
2018.1
一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1. 已知集合A={1,3},B={1,2,m}.若A∪B=B,则实数m=__________.
2. 若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a=________.
3. 某高有学生2 800人,其中高一年级960人,高三年级900人.现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为________.
Read a
S←0
I←1
While I≤3
S←S+a
a←a×2
I←I+1
End While
Print S
(第5题)
4. 已知a,b∈{1,2,3,4,5,6},直线l1:2x+y-1=0,l2:ax-by+3=0,则直线l1⊥l2的概率为________.
5. 根据如图所示的伪代码,当输入a的值为3时,最后输出的S的值为________.
6. 若直三棱柱ABC A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5.若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________.
7. 已知变量x,y满足目标函数z=3x+y的最小值为5,则c的值为________.
8. 若函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=sin(2x-)的图象重合,则φ=________.
9. 已知等比数列{an}满足a2a5=2a3,且a4,,2a7成等差数列,则a1·a2·…·an的最大值为________.
10. 过圆x2+y2=16内一点P(-2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD,且AB=CD,则四边形ABCD的面积为________.
11. 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1的焦点重合,离心率互为倒数.设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为右支上任意一点,则的最小值为________.
12. 在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠A=,M为DC的中点,N为平面ABCD内一点,若|-|=|-|,则·=________.
13. 已知函数f(x)=g(x)=-x2-2x-2.若存在a∈R,使得f(a)+g(b)=0,则实数b的取值范围是________.
14. 若函数f(x)=(x+1)2|x-a|在区间[-1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是________.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
如图,四边形ABCD是菱形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=2AF.求证:
(1) AC⊥平面BDE;
(2) AC∥平面BEF.
16. (本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=,C=2A.
(1) 求cos B的值;
(2) 若ac=24,求△ABC的周长.
17. (本小题满分14分)
如图,点C为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD为海岸线,∠CAB=,AB⊥BD,是以A点为圆心,半径为1 km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线PQ,其中P为上异于B,C的一点,PQ与AB平行,设∠PAB=θ.
(1) 求证:观光专线PQ的总长度随θ的增大而减小;
(2) 已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当θ取何值时,观光专线PQ的修建总成本最低?请说明理由.
18. (本小题满分16分)
已知椭圆E:+=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为左、右焦点,A,B分别为左、右顶点,原点O到直线BD的距离为.设点P在第一象限,且PB⊥x轴,连结PA交椭圆于点C.
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积,求直线PA的方程;
(3) 求过点B,C,P的圆的方程(结果用t表示).
19. (本小题满分16分)
已知数列{an}满足(1-)(1-)…(1-)=,n∈N*,Sn是数列{an}的前n项的和.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 若ap,30,Sq成等差数列,ap,18,Sq成等比数列,求正整数p,q的值;
(3) 是否存在k∈N*,使得为数列{an}中的项?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由.
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)=ex(3x-2),g(x)=a(x-2),其中a,x∈R.
(1) 求过点(2,0)和函数y=f(x)图象相切的直线方程;
(2) 若对任意x∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围;
(3) 若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<g(x0),求a的取值范围.
2018届高三模拟考试试卷(二)
数学附加题(满分40分,考试时间30分钟)
21. B. (选修42:矩阵与变换)(本小题满分10分)
已知矩阵A=,若矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为a1=[],属于特征值λ2的一个特征向量为a2=[].求矩阵A.
C. (选修44:坐标系与参数方程)(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若圆C的极坐标方程是ρ=4sin θ,且直线l与圆C相交,求实数m的取值范围.
【必做题】 第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22. 某公司有A,B,C,D四辆汽车,其中A车的车牌尾号为0,B,C两辆车的车牌尾号为6,D车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车.已知A,D两辆汽车每天出车的概率为,B,C两辆汽车每天出车的概率为,且四辆汽车是否出车是相对的.该公司所在地区汽车限行规定如下:
汽车车牌尾号 | 车辆限行日 |
0和5 | 星期一 |
1和6 | 星期二 |
2和7 | 星期三 |
3和8 | 星期四 |
4和9 | 星期五 |
(2) 设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ξ的分布列和数学期望.
23.在四棱锥P ABCD中,△ABP是等边三角形,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,E是线段AB的中点,PE⊥底面ABCD,已知DA=AB=2BC=2.
(1) 求二面角P CD AB的正弦值;
(2) 试在平面PCD上找一点M,使得EM⊥平面PCD.
2018届高三模拟考试试卷(二)(无锡)
数学参及评分标准
1. 3 2. 6 3. 47 4. 5. 21 6. 50π 7. 5 8. 9. 1 024 10. 19 11. 8 12. 6 13. (-2,0)
14. (-∞,-1]∪[,+∞)
15. 证 明:(1) 因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC.(2分)
因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.(4分)
因为DE∩BD=D,所以AC⊥平面BDE. (6分)
(2) 设AC∩BD=O,取BE中点G,连结FG,OG,
所以OG∥DE且OG=DE. (8分)
因为AF∥DE,DE=2AF,所以AF∥OG且AF=OG,
从而四边形AFGO是平行四边形,FG∥AO.(10分)
因为FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,
所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.(14分)
16. 解:(1) 因为cos A=,
所以cos C=cos 2A=2cos2A-1=2×()2-1=. (3分)
在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=.(4分)
因为cos C=,所以sin C==,(5分)
所以cos B=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=.(7分)
(2) 根据正弦定理=,所以=.
又ac=24,所以a=4,c=6,(10分)
b2=a2+c2-2accos B=25, b=5.
所以△ABC的周长为15.(14分)
17. (1) 证明:由题意,∠CAP=-θ,所以=-θ.
又PQ=AB-APcos θ=1-cos θ,
所以观光专线的总长度f(θ)=-θ+1-cos θ=-θ-cos θ++1,0<θ<.(3分)
因为当0<θ<时,f′(θ)=-1+sin θ<0,(5分)
所以f(θ)在(0,)上单调递减,即观光专线PQ的总长度随θ的增大而减小.(6分)
(2) 解:设翻新道路的单位成本为a(a>0),
则总成本g(θ)=a(-θ+2-2cos θ)=a(-θ-2cos θ++2),0<θ<,(8分)
g′(θ)=a(-1+2sin θ),(9分)
令g′(θ)=0,得sin θ=.因为0<θ<,所以θ=,(10分)
当0<θ<时,g′(θ)<0,当<θ<时,g′(θ)>0.(12分)
所以当θ=时,g(θ)最小.(13分)
答:当θ=时,观光专线PQ的修建总成本最低.(14分)
18. 解:(1) 因为椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,所以a2=2c2,b=c,(1分)
所以直线DB的方程为y=-x+b.
又O到直线BD的距离为,所以=,所以b=1,a=,(3分)
所以椭圆E的方程为+y2=1.(4分)
(2) 设P(,t),t>0,
直线PA的方程为y=(x+).(5分)
由整理得(4+t2)x2+2t2x+2t2-8=0,
解得xC=,则点C的坐标是(,).(7分)
因为△ABC的面积等于四边形OBPC的面积,所以△AOC的面积等于△BPC的面积,
S△AOC=××=,S△PBC=×t×(-)=,
则=,解得t=.(9分)
所以直线PA的方程为x-2y+=0.(10分)
(3) 因为B(,0),P(,t),C(,),
所以BP的垂直平分线为y=,BC的垂直平分线为y=x-,
所以过B,C,P三点的圆的圆心为(,),(12分)
则过B,C,P三点的圆的方程为[x-]2+(y-)2=+,(14分)
即所求圆的方程为x2-x+y2-ty+=0.(16分)
19. 解:(1) 因为(1-)(1-)…(1-)=,n∈N*,
所以当n=1时,1-=,a1=2;(1分)
当n≥2时,由(1-)(1-)…(1-)=和(1-)(1-)…(1-)=,
两式相除可得1-=,即an-an-1=1(n≥2).
所以数列是首项为2,公差为1的等差数列.于是an=n+1.(4分)
(2) 因为ap,30,Sq成等差数列,ap,18,Sq成等比数列,
所以解得或(7分)
当时, 解得
当时, 无正整数解,
所以p=5,q=9.(10分)
(3) 假设存在满足条件的正整数k,使得=am(m∈N*),
则=m+1,
平方并化简,得(2m+2)2-(2k+3)2=63,(11分)
则(2m+2k+5)(2m-2k-1)=63, (12分)
所以或或 (14分)
解得或或(舍去).
综上所述,k=3或14.(16分)
20. 解:(1) 设切点为(x0,y0),f′(x)=ex(3x+1),则切线斜率为ex0(3x0+1),
所以切线方程为y-y0=ex0(3x0+1)(x-x0).
因为切线过(2,0),所以-ex0(3x0-2)=ex0(3x0+1)(2-x0),
化简得3x-8x0=0,解得x0=0或. (3分)
当x0=0时,切线方程为y=x-2; (4分)
当x0=时,切线方程为y=9ex-18e. (5分)
(2) 由题意,对任意x∈R有ex(3x-2)≥a(x-2)恒成立,
① 当x∈(-∞,2)时,a≥⇒a≥max,
令F(x)=,则F′(x)=,令F′(x)=0得x=0,
x | (-∞,0) | 0 | (0,2) |
F′(x) | + | 0 | - |
F(x) | 单调递增 | 极大 | 单调递减 |
② 当x=2时,恒成立,故此时a∈R. (8分)
③ 当x∈(2,+∞)时,a≤⇒a≤min,
令F′(x)=0⇒x=,
x | |||
F′(x) | - | 0 | + |
F(x) | 单调递减 | 极小 | 单调递增 |
(3) 因为f(x) 当x∈(-∞,2),存在唯一的整数x0使得f(x0) 所以a∈[,1). (14分) 当x∈(2,+∞),存在唯一的整数x0使得f(x0) 因为F()=9e最小,且F(3)=7e3,F(4)=5e4,所以当a>5e4时,有两个整数成立, 所以当a≤7e3时,没有整数成立,所以a∈(7e3,5e4]. 综上,a∈[,1)∪(7e3,5e4]. (16分) 2018届高三模拟考试试卷(二)(无锡) 数学附加题参及评分标准 21. B. 解:由矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为α1=[],可得 [][]=λ1[],即; (2分) 得a=2b=10. (4分) 由矩阵A属于特征值λ2的一个特征向量为α2=[], 可得[][]=λ2[],即 (6分) 得2a-3b=9, (8分) 解得即A=[]. (10分) C. 解:由ρ=4sin θ,得ρ2=4ρsin θ,所以x2+y2=4x, 即圆C的方程为x2+(y-2)2=4. (3分) 由消去t,得x-y+m=0.(6分) 由直线l与圆C相交, 所以<2,解得-2 则A:该公司在星期四最多有一辆汽车出车, P(A)=()2()2+C ()()()2+C ()()()2=. ∴ P(A)=1-P(A)=.(3分) 答:该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为.(4分) (2) 由题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,则 P(ξ=0)=()2()2=; P(ξ=1)=C ()()()2+C ()()()2=; P(ξ=2)=()2()2+()2()2+C ()2C ()()=; P(ξ=3)=()2C ()()+()2C ()2=; P(ξ=4)=()2()2=.(8分) ξ的分布列为 答:ξ的数学期望为.(10分) 23. 解:(1) 因为PE⊥底面ABCD,过E作ES∥BC,则ES⊥AB. 以E为坐标原点,EB方向为x轴的正半轴,ES方向为y轴的正半轴,EP方向为z轴的正半轴建立空间直角坐标系, 则E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), A(-1,0,0),D(-1,2,0),P(0,0,), =(-2,1,0),=(1,1,-).(2分) 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则解得n=(1,2,). 又平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),(3分) 所以cos〈n,m〉===,(4分) 所以sin〈n,m〉=. (5分) (2) 设M点的坐标为(x1,y1,z1),因为EM⊥平面PCD, 所以∥n,即==,即y1=2x1,z1=x1.(6分) 又=(x1,y1,z1-),=(-1,2,-),=(1,1,-), 所以=λ+μ=(λ-μ,λ+2μ,-λ-μ), 所以得x1=λ-μ,y1=λ+2μ=2x1=2(λ-μ),即λ=3μ, (8分) z1-=-λ-μ,λ=,所以μ=,(9分) 所以M点的坐标为(,,).(10分)下载本文
(12分)x (-∞,0) 0 (0,2) F′(x) + 0 - - 0 + F(x) 单调递增 极大 单调递减 单调递减 极大 单调递增
E(ξ)=+2×+3×+4×=.ξ 0 1 2 3 4 P