第23讲 三角函数的图象与性质
一．课标要求：
1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性；
2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；
3．结合具体实例，了解y=Asin（wx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（wx+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响。
二．命题走向
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
预测2013年高考对本讲内容的考察为：
1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；
2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=Asin（wx+φ）的图象及其变换；
三．要点精讲
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2．三角函数的单调区间：
的递增区间是，
递减区间是；
的递增区间是，
递减区间是，
的递增区间是，
3．函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。
5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
6．对称轴与对称中心：
的对称轴为，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为；
对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
8．求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：
五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
四．典例解析
题型1：三角函数的图象
例1．函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）
解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。
例2．函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（ ）
解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。
点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
题型2：三角函数图象的变换
例3．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。
解析：y=sin（2x+）
另法答案：
（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；
（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；
（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。
例4．把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）
A．（1－y）sinx+2y－3=0 B．（y－1）sinx+2y－3=0
C．（y+1）sinx+2y+1=0 D．－(y+1)sinx+2y+1=0
解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.
点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C选项。
题型3：三角函数图象的应用
例5．已知电流I与时间t的关系式为。
（１）右图是（ω＞0，）
在一个周期内的图象，根据图中数据求
的解析式；
（２）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．
（１）由图可知 A＝300。
设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝。
∴ ω＝＝150π。
又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，
而， ∴＝。
故所求的解析式为。
（２）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）
∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*，
故最小正整数ω＝943。
点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。
例6．（1）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。
解析：根据图象得A=2，T=π－（－）=4π，
∴ω=，∴y=2sin（+），
又由图象可得相位移为－，∴－ =－，∴ =.即y=2sin（x+）。
根据条件=2sin（），∴=2kπ+ (k∈Z)或=2kπ+π（k∈Z），
∴x=4kπ+（k∈Z）或x=4kπ+π（k∈Z）。
∴所有交点坐标为（4kπ+）或（4kπ+）（k∈Z）。
点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
（2）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（ ）
A．（，）∪（π，） B．（，π）
C．（，） D．（，π）∪（，）
解析：C；
解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图1可得C答案。
图1 图2
解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C。（如图2）
题型4：三角函数的定义域、值域
例7．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；
（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；
分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。
解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。
∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。
（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。
又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。
故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。
点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。
例8．已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。
解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，所以f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠，k∈Z}，
因为f（x）的定义域关于原点对称，
且f（－x）==f（x）。
所以f（x）是偶函数。
又当x≠（k∈Z）时，
f（x）=。
所以f（x）的值域为{y|－1≤y<或 题型5：三角函数的单调性 例9．求下列函数的单调区间： （1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。 分析：（1）要将原函数化为y=－sin（x－）再求之。 （2）可画出y=－|sin（x+）|的图象。 解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。 故由2kπ－≤－≤2kπ+。 3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间； 由2kπ+≤－≤2kπ+。 3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。 ∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］， 递增区间为［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。 （2）y=－|sin（x+）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，kπ+］。 例10．函数y=2sinx的单调增区间是（ ） A．［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z） B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z） C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z） D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z） 解析：A；函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。 题型6：三角函数的奇偶性 例11．判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）。 分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（－x）的关系。 解析：定义域为R，又f（x）+f（－x）=lg1=0， 即f（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数。 点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。 例12．关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题： ①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数； ②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数； ③存在，使f（x）是奇函数； ④对任意的，f（x）都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。 答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z） 解析：当=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1）π，k∈Z时f（x）=－sinx仍是奇函数。当=2kπ+，k∈Z时，f（x）=cosx，或当=2kπ－，k∈Z时，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。 点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。 题型7：三角函数的周期性 例13．求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值。 分析：将原函数化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解。 解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x） =1－3sin2xcos2x=1－sin22x=cos4x+。 ∴T=。 当cos4x=1，即x=（k∈Z）时，ymax=1。 例14．设的周期，最大值， （1）求、、的值； （2）。 解析：(1)，，， 又的最大值。 ， ① ，且， 由 ①、解出 a=2 , b=3. (2)，， ， ， 或 ， 即 (共线，故舍去) ， 或 ， 。 点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。 题型8：三角函数的最值 例15．设M和m分别表示函数y=cosx－1的最大值和最小值，则M+m等于（ ） A． B．－ C．－ D．－2 解析：D；因为函数g（x）=cosx的最大值、最小值分别为1和－1。所以y=cosx－1的最大值、最小值为－和－。因此M+m=－2。 例16．函数y＝的最大值是（ ） A．－1 B．＋1 C．1－ D．－1－ 解析：B；。 五．思维总结 1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。 2．作函数的图象时，首先要确定函数的定义域。 3．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。 4．求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。 5．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。 6．函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。 7．判断y=－Asin（ωx+）（ω＞0）的单调区间，只需求y=Asin（ωx+）的相反区间即可，一般常用数形结合而求y=Asin（－ωx+）（－ω＜0＝单调区间时，则需要先将x的系数变为正的，再设法求之。下载本文
