数字频谱分析是目前应用最广的一种测试ADC 性能方法之一，它是一种频域分析，能测试采集系统的SNR 、SINAD 、THD 、EN0B 、SFDR 、IMD 等指标，其原理是在ADC 的输入端加一“纯净”（pure)的正弦波。对ADC 的输出数字信号作谱分析，分离其中的信号、直流、谐波、杂散波以及噪声成分。如果输入信号是两正弦波的迭加，还可以找出双音互调制成分。假设除信号和直流成分外，其余均由ADC 产生，借此可以获得第二章所提到的种种动态特性指标。
第一节 数字频谱法的基本流程
1、选择数字信号记录长度M ，选择M 时有几个要考虑的因素，后面有详细的讨论。
2、获取M 个采样数据（顺序，连续），信号应是满幅度的纯净正弦波。
3、对Sampled Data 加窗处理，这对非相关采样而言是必须的，而对于相关采样，则无需加窗。
4、计算FFT ，由于多数情况下处理的数据为实数，由离散傅里叶变换的特性可知，离散的幅度关于M/2点对称，因而只需计算M/2点的幅度谱：对FFT ，如果实、虚部取平方和，得功率谱；如果再开方则得幅度谱，规一化后用分贝表示。
5、分析谱图，分离其中的信号、谐波、互调制波、噪声、直流成分等，一般认为频谱图中最大成分为信号。
6、计算信号、谐波、噪声以及互调制波的功率。
7、计算SNR 、SINAD 、THD 、ENOB 、IMD 、SFDR 等动态特性指标。
第二节 数字频谱分析的基础
3-2-1 单频信号输入情况
设有限长序列 x(n):
x n j f nT n M ()exp()
,,...,==-20110π
由于离散富氏变换(DFT)只能处理有限长的数据序列,上述相当于对无穷长系列
exp()
,,...
j f nT n 20120π=±±
加一矩形窗⎩⎨
⎧-==
M n u w 其它0
1,...,1,01)( 后得到:
x(n) 的频谱:(对无限长序列加矩形窗)
)]
(sin[)]
(sin[))()1(exp()2exp()2exp()2exp()()()(0001
0f NT f NT k
N f NT
k M j T M k
nT
f j nT f j T M k nT f j nT w nT x T k M f x s M n n s s w --⋅
---=-=-=∑∑-=+∞
-∞
=ππππππ (3-2-1)
如果f M f MT
s 044
==
, 如图3-2-1所示:
|X (k )|
f
4f /N
f /N
图3-2-1 相干采样时的离散频谱
如果f MT 045
=
.,，则如图3-2-2所示: |X (k )|
f
4f /N f /N
5/N
图3-2-2 非相干采样时的离散频谱
这样单频信号的频谱经DFT 后变成了多条谱线,造成功率的分散（即是泄漏），下面详细分析其原因。
假设输入信号频率 f l
f M
f s
s 0=:为采样频率.
（I ）当l 为整数（相干采样）时，其他 l k MT
k M f x s w =⎩⎨
⎧=0)(
这种情况下，频谱没有泄漏，输入信号频率f 0 为f M
s
的整数倍。采样点
M l f f f M M T l
f l T s s s =⋅=⋅==⋅00
0, ,即采样长度为信号的整数倍周期。这种情况称为
相干采样。
（II ）l 不为整数时（记录长度M 中不含整数个信号周期，非相干采样）
有：x f M
k k M w s
(
),,,...,≠=-0011 ,这时便出现频谱泄漏，本来应是单条谱
线(单频信号)，但作DFT 后出现多条谱线。从上面可知这是由于对无穷长信号截短产生的必然结果，是非相干采样的固有特性，不能根本消除，只能使用窗函数使泄漏减小.
3-2-2. 频谱泄漏的直观解释:
由离散傅氏变换的含义及来源可知:DFT 实际上相当于将采样的信号
{}1,...,1,0)(-=M n n x 在时间轴上，即{}∞∞-∈,n 上作无限的周期延拓，产生无限长
的周期信号(())x n M 。
对(())x n M 作傅氏级数展开，得到(())X k M ，由傅氏级数的性质;
(())x n M 周期 ⇒(())X k M 离散 (())x n M 离散 ⇒(())X k M 周期
因而 (())X k M 是离散周期的系列。离散傅氏变换:DFT(x(n))实际上是取(())X k M 的一个周期，k =0,1,...,M-1. 记为：
X k X k R k DFT x n M M ()(())()(())=⋅=
其中：⎩⎨
⎧-==
1,...,1,01
)(其他M k k R M 。
当x(n)不是由相干采样产生时,即n=0,1...m-1时, 信号长度不包含整数周期的正弦波。如果作周期延拓, 如图3-2-3所示,
延拓信号M .T S
图3-2-3 采样延拓信号与原始信号
这时M*Ts = L*T0, L 不是整数,作周期延拓后的信号显然与原信号有所不同. 在接点处, 即t=M*Ts*k(k=...,-1,0,1,...), 延拓信号是不连续不光滑的( 导数不存在或不连续)。这样从延拓信号看便产生了高频成份，而导致了泄漏!
如果 M=L*fs/f0, 即M*Ts=L*f0,L 是整数,则延拓后的信号和原信号一样。 因而没有产生泄漏。从这一直观的分析也同样得出结论:只有相干采样才能根本消除泄漏。在非相干采样中是无法根本消除的.只有用窗函数来减少这一影响.
以上考虑单频输入的情况. 如果几种输入频率不同,则一般更难于用相干采样,因而绝大多数情况, 窗函数是不可避免的!
第三节 窗函数
3-3-1. 窗函数的物理意义
由上面讨论可知, 非相干采样时,数据泄漏造成频谱图严重失真, 为提高频谱的估计准确度, 使用窗函数减少泄漏。
窗函数是一种权重函数在时域上和采样数据相乘， 因而减少了周期延拓信号在边界上的不连续性程度, 使加窗后的数据在边界上(0与M-1)有尽可能高次的微分连续。为达到这一目的, 一种简单的方法是将加窗的数据靠近边界处使数据缓慢地变成零。 目前常用的窗函数都如此。 如图3-3-1所示。
Wn
图3-3-1 窗函数的时域图
在时域中, x(n)、w(n)相乘, 而在频域中x(k)、w(k)是周期卷积,离散情况为
X l W k l l
()()⋅-∑。 从频域看，窗函数是一种作用于DFT 基向量{k/MTs}, k=0,1,2...M-1
的一种乘性因子。这种因子使得任何频率的信号只在频率靠近此信号的基向量上有较大的投影(分量)，从这种含义上看，窗函数相当于一种滤波器。 这两种观点是等价的,也是设计窗函数的基本指导思想.
3-3-2. 窗函数的主要技术指标
1) 等效噪声带宽ENBW ： 设窗函数w(n),n=0,1,2...M-1.
则其等效噪声带宽()2
1
01
2
)(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅=
∑∑-=-=N n N n n W M
n W ENBW （3-3-1）
频域中,窗函数相当于一种滤波器,在任何一个频率点上,它以某种权重将整个频带的噪声累加起来。
等效噪声带宽是指一个理想的矩形滤波器的带宽，其高度与窗函数的最大功率增益相同,且累加的噪声功率也和窗函数相同。
2)处理增益(processing gain)
假设加窗前信号为:f(n)=A exp (jwknT)+q(nT)，其中q(nT)为噪音，其方差(功率)为σ2
。这里假设k T
M W K ⋅⋅=π
2.(相干采样)。则加窗后的频谱为：
F W W n T A j nT j nT A W nT K signal k n
k n
()()exp()exp()
()
=⋅-=∑∑ωω. （3-3-2）
(功率最大的谱线,相干成份)。可见如果无噪声,其频谱与A 成正比,也正比于窗函数的直流信号增益。相干增益为
∑n
nT W M
)(1，相干功率增益为上述的平方。
非相干成分(噪声部分)为:
{
}[]
∑∑∑∑==-=n
n
m
noise
k n
k noise k nT W nT q nT q E m T W nT W F E nT j nT q nT W F )
()()()()()()
exp()()()(22*2σωωω （3-3-3） 这实际上是噪声平台的平均高度。
输出噪声总功率为:
[]
[]
.
1
)
()()()()(2
22
2
222
2
00220ENBW
nT W N nT W q A nT W q N nT W A N S N S PG M
nT W q N i
i
n
=⋅=
⋅=
=
⋅⋅=∑∑∑∑∑ （3-3-4） (白噪声分布)。
PG 定义为输出信噪比与输入信噪比的比值。由此可见它和等效噪声带宽恰好成反比。实际上这是理所当然的。因为等效噪声带宽越大,则加窗后就有越多的噪声被加入频谱。
3)栅栏损失(Scalloping Loss)
我们知道,DFT 实际上是整个频谱中按基向量{k*fs/N},k=0,1,2...N/2 取样。取样结果即是DFT 的输出谱瓣。当输入信号的频谱不是上述基矢中的一个是时则谱峰必然有损失。损失最大的情况出现在两基矢正中时,即输入信号频率为:(K+ 1/2)*fs/N ；k=0,1,2...N/2-1 时。
定义SL 为上述频率的相干增益与频率为基矢中的一个时的相干增益比:
SL F F W nT j n N W nT W N W k k n
n
s =
=
-=
+∑
∑
(()
()exp(/)
()
(/)()
(/)ωωπω1220 （3-3-5）
SL 表示由于频率不等于基矢频率而导致的处理增益最大损失。
4)最差处理损失(Processing loss)
这也是从信号主峰高度而言。一方面,PL 定义为窗函数的最大栅栏损失与窗的等效噪声带宽之和。PL 是由于加窗和频率不等于DFT 取样点而导致的信号主峰与噪声平台比的最大损失PL W nT jn N W ENBW
=-+∑
200101
lg
()exp(/)()lg π，这在讨论谱平均时有用。
5)加窗后的频谱泄漏
从上述讨论ENBW 的图上可知，频谱在某点的测量值不仅受到宽带噪声的影响, 还受到其它频率信号或杂散波的影响,即在W W =0处的信号,在W W ≠0处也有贡献, 其大小取决于中心位置在W0处的窗函数在W 处的增益。实际上即为W ()ωω0-由此可见加窗后仍然存在泄漏, 泄漏的大小由窗函数的边瓣大小和边瓣远离中心瓣时的下降速度有关：边瓣幅度越小, 边瓣衰减越快, 则频谱泄漏导致的误差越小。 因而衡量一个窗函数的泄漏时, 用 Peak sidelope 和 asymptonic sidelepe of fall off of these sidelobes 。此外, 还有主瓣宽度, 重叠相干等指标： 主瓣宽度可以用3dB 或6dB 宽度表示，6dB 宽度还表示窗函数能分辨的最小带宽( Minimum Resolution Bandwidth)，即两信号频率只有大于窗的6dB 带宽才能明显地在频谱图中分辨出两个峰。
3-3-3 几种常用窗函数 这里列出几种常用窗函数的表达式。 1)矩形窗, 即是最简单的截短函数.
双边形式为:W(n)=1, n=-M/2, ... ,0,1, ... ,M/2. 单边形式为:W(n)=1, n=0,1...M-1.
2)三角窗:
双边形式为: M/2., . ,. -M/2=n ,/21)(M n n W ⋅-= 单边形式为:W(n) = 2n/M, n=0,1...M/2 = 2(M-n)/M, n=M/2,M/2+1...M-1 3)汉宁窗(Hanning).
双边: M/2., . -M/2,.=n ),(
cos )(2
πM n
n W = 单边: 1-M ., . 0,.=n ),(sin )(2πM
n n W = 4)海明窗(hamming)
单边1-M ., . 0,.=n ),2cos(46.054.0)(n M n W ⋅-=π
双边:M/2., . -M/2,.=n ),2cos(46.054.0)(n M
n W ⋅+=π
5)Blackman 窗
双边形式为 M/2., . -M/2,.=n ,)2cos(
)(1
∑-==K m m M
mn
a n W π 单边形式为 1-M ., . 0,.=n ,)2cos()1()(1
∑-=-=
K m m m M
mn
a n W π
其中系数a a m m 满足 m=0k-1=∑
10. k 为整数一般取2,3,4.
a0是窗的相干增益
a 0 a 1 a 2 a 3
Blackman: 0.42 0.50 0.08 Exact Blackman: 793818608 924018608 143018608 3Term(-67dB) 0.42323 0.49253 0.07912
3Term(-61dB) 0.44959 8.493 8.05677
4Term(-92dB) 0.35875 0.48829 0.14128 0.01168
4Term(-74dB) 0.40217 0.49705 0.09372 0.00183
6)凯泽--贝塞尔窗(Kaiser-Bessel widow) []()20002
0!2/)(I M/2., . -M/2,.=n ,)
()/2(0.1)(∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=-=k k k x x I M n I n W παπα 这是一种最优化窗，其优化准则是:使主瓣内的能量最大。
7)高斯窗:单边形式为.
. 2.5,3.0,.=1-M ., . 0,.=n ,)12(5.0exp )(22αα⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=M n n W 双边形式为.
. 2.5,3.0,.=M/2., . -M/2,.=n ,)2(5.0exp )(22αα⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=M n n W
8)Dolph-chebyshow 窗
这也是一种最优化窗,优化准则是在规定的旁瓣大小下,使主瓣宽度最小。双边频谱形式为: []⎪⎩⎪⎨⎧≤---+=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⎭⎬
⎫⎩
⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=----0.1x )0.1arctan(20.1x )0.1ln()(cosh )10(cosh n 1cosh =1-M ., . 1),.--(M =k )
(cosh cosh )cos(cos cos )1()(221111x x
x x x M M k N k W k πββπβα
第四节 选择合适的记录长度M
数学频谱分析所需的信号记录长度M ，要从以下几个方面综合考虑：
2.从频率分辨率上考虑:DFT输出的离散频谱,相邻谱线的频率间隔为fs/M,这里fs是采样频率。在多频率信号时，这一指标非常重要。但实际上频率分辨还与所用窗函数有关。结合上式和窗函数的6dB带宽便可以较准确地确定加窗FFT的频率分辨能力。
f=fs/M=1/(MTs)=1/tl （3-4-1）
实际上由信号连续记录的时间tl决定.(如果人为地在信号后加零, 不会增加频率分辨率!)
3.在非相干采样时,要使用窗函数,窗函数都有一定宽度的主瓣和一定幅度的边瓣。例如Hanning窗:主瓣的宽度为(4*fs/M)。这里以过零点考虑，而最大边瓣为-32dB，边瓣下降速度为-18dB/倍频。这样为了使计算的谱精度高于68dB，则要计算主峰一旁的谱线数
为:2
6832
18
410 +
-
=
*
计算信号能量时,左右两边共21条谱线要计算在内。如果FFT的点数
M=256,则信号峰占: 21/128=16%
M=1024,则信号峰占: 21/512=4%
为使信号Mgqust频率内点的成份少,点数M需要适当地增加(大一些好!)如图3-4-1:
fs/2fs/2
图3-4-1 FFT点数与信号峰在奈奎斯特频率范围内所占的成分
4.FFT Noise floor 的
如果FFT本身的截断误差而引起的噪声可忽略,那么信号的功率与每个bin(瓣)上的
噪声功率比为:
SNR=6.02N+1.76+10lg(M/2) （3-4-2）
这里出现10lgM/2一项是因为SNR为信号功率与与单位频率内(fs/M)的噪声功率比。而不是信号与噪声的总功率比。关于这个公式的含义在后两谱平均和公式中还会提到。如图3-4-2所示：
图3-4-2 FFT 噪声平台
由上述可知，M 越大,FFT floor 的成份102
lg M 就越大,总的"噪声平台"就越低，要从噪声平台中分析出一个寄生成份(spurious component),则这个峰至少要比"平台"高10d B
左右，因而这也给出一个M 的(M 越大,越易分辨)。
以上几个因素都要求M 越大越好,但M 大给实际计算带来困难。占用机时长，使用的内存
空间大，一般M 最大取到4096或8192就可以了。如果有特别的要求,如要求在局部有很高的
频率分辨率，则可用"细化"技术，这样不使计算量增加，大多的情况下能达到满意的结
果。
第五节 采样频率与信号频率的选择 ()f f s in -
1.在相干采样中,采样频率f s 和输入信号满足: f k M
f in s =⋅ （3-5-1）
这里k 必须是整数,以保证被分析的M 个数据恰好是整数个输入信号周期: M T M f k f k T s s in
in ⋅===⋅, （3-5-2） k 为记录长度内的信号周期数,为了使记录长度中没有重复出现的数据,Mc 必须是奇数,
同时必须是素数,k 只能取1,3,5,7,11,13,17,. . .等，这样保证在记录长度中M 个采样点能
是唯一的。
如果使用相干采样,则采样率与信号频率a 是恒定的常数,可以使f f s in ,从互相锁定的两
个信号源取得,如两个锁相合成信号发生器中取出。
2.在非相干采样中
设f L P f in s =⋅, L P
为不可约分数 L,P 为整数要求采样点数M P ≤.否则M 个点中将有重复采样存在
X n A f nT X kp n A f kp n X n in in ()sin ()
()sin(()()
=⋅++=+⋅=2200πθπθ （3-5-3）
即如果M>P ，则M 个点中实际上由P 采样点的重复，这样量化噪声将出现在Kfs/P 这样分
散的确谱线上与白噪声的假设相差很远，计结果也会因此受到严重的影响，如图3-5-1：
相干采样 非相干采样
图3-5-1
第六节 数字频谱分析
用于测试数据采集系统的频谱分析只用到功率谱(幅度谱的平方）。M 点的采集数据经
加窗处理后，用FFT 方法求出其离散傅里叶变换，再对其实部、虚部求平方和得到功率谱。
实际上这并不是原信号的真实功率谱，仅仅是原信号加窗｛W （n ）｝后所得“信号”的功
率谱的一估计。要使得原功率有效，估计还要在上述求得功率谱后再乘以一修正因子。
()())(k X n w n x m →⋅
功率谱为：()2)(1k X M
k S m = 修正的功率谱：())(1k S a k S w
⋅= 上式中1a w
为功率修正因子，它实际上补偿由于加窗后在两端(0与M —1）信号衰减到0而带来的功率损失。 a w n M
w n M =⋅
=-∑201
1() （3-6-1）
对Hanning 窗：a w =0375.
对Hamming 窗：a w =03974.
对Blackman 窗：a w =03046.
但由于采集系统测试中要求动态特性指标，如SNR 、SINAD 、THD 、SFDR 、IND 等都是功
率比，因此如果仅用于求这些指标，功率修正这一步可不做，因为这样不影响上述比值的
正确计算。以下讨论的公式就考虑到这一修正。直接利用修正前的功率谱()2
)(1k X M
k S m = 计算 另外X （n ）、W （n ）显然是实数，因而其功率谱 S k (),(k=0,1,...M-1)是关于 M/2点
对称的。本来计算信号或噪声时应 -f ~ +f 两部分同时计入。
|S (k )|
M -1M /2-M /2M /20|S (k )|平移
F F
图3-6-1 FFT 频谱示意图
K=M/2 -- M-1部分对应 f= - fs/2 -- 0.
同样道理，由于上述对称性和计算结果为比值，因而只计算K=0—N/2部分即可以了。
这样不影响计算结果，而且使计算速度加快一倍。除直流成份外，其它成份只要在0—M/2
中的功率乘2即可。
分析功率谱中部0—M/2个成份，分别找出下列谱线集合：
信号集Bs ：最高谱峰及两边谱线，其具体的Bin 数要视所用窗函数的边瓣高度，边辨
衰减速度以及计算精度而定。设信号主峰频率为f 0。
谐波集：B2，B3,... 处于2f0,3f0....等处的峰成份认为是谐波。如果kf0>fs/2，则
考虑折叠，以重新定位谐波成份。如果谐波噪声不可分辨，则认为该种谐波不存在！(被噪
声掩盖）。
直流：B0，在K=0,1,2,等波线处认为是直流成份，所含的Bin 数取信号集BS 的一半即
可。
杂散波：Bz(I)：如果除上述三个成份外，还有较大的波峰，则认为是某种杂波，其数
目不定（也可以没有）。分清杂散波与折叠的谐波，不要混淆。
噪声：Bn ：除上述几个部分，其余的认为是噪声。
分析出上述集合后，分别计算各成份的功率。
信号：E M X k S k s k B k B s
s =⋅
=⋅∈∈∑∑2122()() (3-6-2) 谐波：EH i M X k S k k B k Bi i
()()()=⋅=⋅∈∈∑∑2122 (3-6-3) 直流：Ed S k k B =∈∑()0
(3-6-4) 杂散波：EZ i S k k Bz i ()()()=
∈∑ (3-6-5)
噪声：En M L M S k S k M
X k k B n =⋅-⋅=∈∑22212()()() (3-6-6)
上述计算噪声的公式中有一项（M/2-L ）/（M/2），其中的L 是BS 、B2、B3、B0、 Bz （i ）
中总共占的BIN 数，因此这里假设噪声是白谱，因而在BS 、B2、B0、Bz(i)等也是不可避免
的混入噪声，计算噪声总功率时要加入这一项。
另外，若需更精细地计算各次功率值，则上述各项中还要减去迭加的噪声，这时经简
单推导有下列公式：
En M L M S k S k M X k k B n
=⋅-⋅=∈∑22212()()() E S k F B M En s k Bs
s =⋅-∈∑22()() EH i S k F B M En k Bi
i ()()()=⋅-∈∑22
EZ i S k F Bz i M En k Bz i ()()(())()=⋅-∈∑22 F(Bs)表示BS 中 所含的谱线数〈BWS 的数目〉，其余也如此，计算出上述各项后便有：
谐波失真:HD i EH i Es
db ()lg
()()=10 i =2,3,... (3-6-7) 总谐波失真:THD EH i Es
db =∑10lg ()() (3-6-8) 杂波失真：ZD EZ i Es db =∑10lg ()() (3-6-9) 信号随机噪声比:S N Es En db =10lg () (3-6-10) 信号与谐波噪声比：S (N +D +Z)=10lg Es En +EH(i)+EZ(i)
∑∑()db (3-6-11) SFDR ：{}
)()(),(lg 10db i EZ i EH Max Es (3-6-12) 有效位 ENOB: BIT 02.6 2A FSR 20lg +1.76-Z)+D +(N S ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ (3-6-13) 以上讨论的是单频信号输入情况。如果为了测量交互调制失真，输入的信号f1,f2，则可以按上述输入方法求出调制项能量：
E S k
F B M En f f f f k B f f 2221212212-∈=
-⋅--∑()()()() (3-6-14) E S k F B M En f f f f k B f f 2212122122-∈=
-⋅--∑()()()()
(3-6-15) 双音互调制失真：IMD E E E E db f f f f f f =++--lg ()221221
12 (3-6-16)
实际上如果 L< ，则上述的各项都可以忽略，这样可以使计算进一步简化。 第七节 谱平均 上面讨论的频谱分析方法是单次FFT ，即对一个频谱分析计算。由于噪声的随机性，使单次频谱图的随机噪声有很大的起伏，噪声平台并不明显。如果在相同的测试条件下，获得多次计录。（每次计录点数M ），并对每次计录FFT 求功率谱，然而对多次的结果点对点 地求平均后的频谱噪声平台被拉平，同时信号、谐波、杂散波等被突出。这样可以很清楚地观察到噪声本底，谐波畸变，SFDR 等性能。下面分析其数学原理： 设输入信号为exp ()j t ωθ+0，采集系统输出： a k x k r k j nT r k ()()()exp ()()=+=++ωθ0 （3-7-1） 上式中r(k)是白噪声的采样序列，加窗，作DFT 得到： []) ()( )12exp()()()12exp()()( )12exp()()()()(10 1 010 l l X M jkl k w k x M jkl k w k r M kl j k w k x k r l A M k M k M k Γ+=-+-=-+=∑∑∑-=-=-=πππ （3-7-2） 第一项为信号加窗后的DFT 变换，第二项为噪声加窗后的DFT 变换（不是功率，而是源变换）。 假设噪声的统计值为0（白谱）。即 E r k E r k E r k r l (())(())(()())===≠0 022σ (k l) 因而有： [][]∑--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ΓΓ-==Γ10 2 2*12)(exp )()()(1 ,...1,0 ,0)(N k M n m jk k w l l E M l l E πσ 加窗后的DFT 结果，Γ()l 不再是“白谱”，但如果窗函数W （t ）有很小的边瓣和窄的主瓣，则Γ()l 几乎是“白的”，从上式有 E l l w k k N ΓΓ()()()*=--∑σ2201 （3-7-3） 就是噪声平台。现在再考虑信号项X(l)。设x(k)，w(k)分别连续是连续信号，x(t),w(t)采样而得： x t j f t ()exp()=+200πθ w(t):连续的窗函数，t 从0 - NT s 则x(t)w(t)的傅氏变换为： []⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+---θππfs f f jN f f W x 1)(exp )(200 W x ()ω为连续窗函数w(t)的傅氏变换。上述为连续信号的傅氏变换，变为离散的有： []()[]s s x s f f M l M j M l f W T l X 0)(exp )(21)(=+---=αθαπαπ （3-7-4） 从上述几式得到： [][]∑-=+-⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=102222 )(*)()(21)(M k s x s l k w N l f W T A l A E σαπ （3-7-5） 其中W f x ()2π为连续窗函数w(t)的连续傅氏变换。σ2为输入加性白噪声的功率。上述第一项代表信号功率，第二项代表噪声功率。若作点对点的平均，每点功率将收敛到一个值。这时信号最高峰与噪声平台的比为 []()[]) 0(2)()0( )()(2222222102222x s x k x s N k s x s W M l f W k w N W f N k w M l f W f SNR απσσ απ-⋅⋅=-⋅= ∑∑-= （3-7-6） 假设W （k ）为w(k)的离散DFT ，则有：f W W s x 222 00()()=,上式变成： [])0()(222 22x s x W M l f W ENBW M SNR απσ-⋅⋅= （3-7-7） 其中：() 2 222)()()0() (∑∑∑⋅==k w k w M W k w M ENBW 即为窗函数的等效噪声带宽。 现考虑SNR 中的最后一项：[] )0()(2222x s x W M l f W απ- 设l 条谱线为信号主峰，则)2(10M f f M lf s s ≤-,即 M f M f s s παπ⋅≤ -)(2, 如果w(t)的频谱中，主瓣峰较平坦，而且当N 足够大时，则有[])0()(222x s x W M f W ≈-απ。常用的窗函数满足这一要求。在SNR 表达式中忽略之： ENBW M SNR ⋅= 2σ,使用d B 为单位： ENBW M B ENBW M ENBW M SNR B 3lg 1002.6121)2 2(lg 10lg 1022+=⋅⋅==σ (3-7-8) 这里信号为exp (),j f t FSR 2200πθ+=,B 为ADC 的分辨率。如果输入信号是sin()200πθf t +,则信噪比为： ENBW M B SNR 43lg 1002.6+= (3-7-9) 上述讨论中忽略了[]) 0()(222 2x s x W M l f W απ-。实际上这一项即代表栅栏损失。因此信号的 主峰与噪声平台的比与上式稍有差别（误差），最大的误差为窗函数的“最大栅栏损失”。 上面给出的SNR 是对功率谱求平均的结果。如果对幅度谱求平均，则要复杂一些。假设信号能量比噪声能量大得多，则A l A l ()()*的平方根收敛于 )]/(2[απ-M l f W f x s 信号不存在的频域，噪声项Γ()l 分成实部与虚部：Γr l ()，Γi l ().由大数定理，多次样本统计，Γr l ()，Γi l ()均服从高斯分布。如果w(t)有很小的边瓣和窄的主瓣，则Γr l ()， Γi l ()几乎不相关，此时ΓΓ()()*l l 的平方根是一个瑞利分布：a k w N k 1)(1 022 ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-=πσ 这样：ENBW M B SNR ⋅+=π3lg 1002.6 这是对幅度谱求平均后信号主峰对噪声平台的比值。以上两个SNR 的表达式都假定为输入满幅度的正弦波。 第八节 几种“信噪比”与有效位公式的说明 在一些教科书和刊物上常出现以下几种公式： ENBW M B db db f f B N S db A FSR B N db B N S s 43lg 1002.6=SNR .5)(2 M 10lg +6.02B =SNR .4)(2lg 1076.102.6 .3)(2lg 2076.102.6S .2) (76.102.6 .1max +++=-+=+= 上述第(1)个公式是N 位理想的量化器,在输入满幅度的正弦波情况下,ADC 输出的信号功率与噪声(总功率)之比。这个公式是最基本的。 第(2)个公式是输入一个非满幅度的正弦波A t sin()ωθ+0到一个理想的ADC 系统, 输 出的数字信号的功率与噪声(总功率)之比，-202lg FSR A 一项是因为信号功率为052.A , 而不是0522.()FSR ,两者的差别用DB 表示即为-202lg FSR A 。 对第(3)个公式， 假设f f s >>2max , 即采用过采样,输出数字信号谱为: f F s /2F m a x N o i s e c a n b e f i l t e d |X (k )| 图3-8-1 过采样的信号与噪声频谱 信号谱集中在0-f max ,而噪声σ2均匀分布在0-Fs/2之间。如果一个数字滤波器可将f f s max -2的噪声滤去,则得到的数字信号噪声功率只有滤波前的f f s max (/)2倍。信噪比增加了102lg max f f s . 由此可见这公式是利用过采样而后加数字滤波器将高频噪声滤去后得到的信号与噪声总功率之比。 第（4）、（5）式的SNR 都是信号主峰与噪声平台的高度比. 将第（5）式变换一下得: ENBW B N ENBW B N ENBW B N SNR 1lg 102lg 1076.102.6 )2/3lg(102lg 1002.6 43lg 1002.6+++=++=+= 两者都有2lg 10B 这一项,它相当于FFT-floor, S/N 与 SNR 的差别就在于这一项:一个是信号功率与总噪声功率之比,另一个是信号主峰与平台之比. 另外,（5） 式中还多了101lg ENBW 一项,这是由于窗函数的等效噪声带宽不为1 引起的。第（4）式相当于ENBW=1,即为矩形窗的特殊情况。 以上都是针对理想的ADC 而言, 对于实际的ADC , N 用有效位ENOB 代替,SNR 用SINAD 代替,SNR 、SINAD 等由频谱分析或者由谱平均得到。 这是我们测试动态特性的基本公式.下载本文
