(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( )
A ．32
B ．－32
C ．35
D ．－35
答案 C
解析 ∵{a n }是等差数列，
∴d ＝a 8－a 4
8－4＝3，
∴a 15＝a 4＋11d ＝2＋11×3＝35.
2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是(
) A ．12，－8 B ．1，－8
C ．12，－15
D ．5，－16
答案 A
解析 y ′＝6x 2－6x －12，
由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．
x ＝－2时，y ＝1；x ＝－1时，y ＝12；
x ＝1时，y ＝－8.
所以y max ＝12，y min ＝－8.
3．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( )
A ．－163 B.163 C ．－83 D.83
答案 B
解析 ∵a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1，
∴a 2＝(－1)2×2×13＝23，
a 3＝(－1)3×2×23＝－43，
a 4＝(－1)4×2×⎝⎛⎭⎫－43＝－83，
a 5＝(－1)5×2×⎝⎛⎭⎫－83＝163.
4．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 D
解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1
. 由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ， 则有a －1＝2，所以a ＝3.
5．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．－3
D ．－4
答案 D
解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，
a ＋3
b ＋
c ＝10，
解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8.
6．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为，则该数列有
( )
A ．13项
B ．12项
C ．11项
D ．10项
答案 B
解析 设数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1，
则前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，
后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.
由题意得a 31q 3＝2，a 31q
3n －6＝4， 两式相乘得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q
n －1＝2. 又∵a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝，
()
121n n n a q
-∴＝， 即(a 21
q n －1)n ＝2，解得n ＝12. 7．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处的切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为
( )
答案 C
解析 由曲线方程y ＝sin x ，可知g (x )＝cos x ，
所以y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数，排除A ，B ；
当x ＝0时，y ＝0，排除D ，故选C.
8．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则
损失100元，已知该厂在制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是p ＝3x 4x ＋32
(x ∈N *)，为获得最大盈利，该厂的日产量应定为( )
A ．14件
B ．16件
C ．24件
D ．32件
答案 B
解析 因为该厂的日产量为x ，
则其次品数为px ＝3x 2
4x ＋32，正品数为(1－p )x ＝x 2＋32x 4x ＋32
， 根据题意得盈利T (x )＝200×x 2＋32x 4x ＋32－100×3x 2
4x ＋32
， 化简整理得T (x )＝－25x 2＋1 600x x ＋8
. 因为T (x )＝－25x 2＋1 600x x ＋8
， 所以T ′(x )＝(－50x ＋1 600)(x ＋8)－(－25x 2＋1 600x )(x ＋8)2
＝－25×x 2＋16x －×8(x ＋8)2
＝－25×(x ＋32)(x －16)(x －8)
， 当0 所以x ＝16时，T (x )有最大值，即T (x )max ＝T (16)＝800(元)． 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a B ．f (x ) D ．f (x )＋g (b ) 解析 因为f ′(x )－g ′(x )>0， 所以[f (x )－g (x )]′>0， 所以f (x )－g (x )在[a ，b ]上单调递增， 所以当a 所以f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )，f (x )＋g (b ) ) A.152 B.314 C.334 D.619 答案 BD 解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 2a 4＝1得a 23＝1， ∴a 3＝±1. ∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 3q 2＋a 3q ＋a 3＝7， 当a 3＝－1时，得8q 2＋q ＋1＝0无解， 当a 3＝1时，得6q 2－q －1＝0， 解得q ＝12或q ＝－13， 当q ＝－13时，a 1＝1 q 2＝9. ∴S 5 ＝9×⎝⎛⎭⎫1＋1 351＋13 ＝274×⎝⎛⎭⎫1＋135＝619. 当q ＝12时，a 1＝1q 2＝4. ∴S 5＝4×⎝⎛ ⎭⎫1－1 251－12 ＝8×⎝⎛ ⎭⎫1－125＝314. 11．函数f (x )＝x 2－ln 2x 在下列区间上单调的是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，2 2 B.⎝⎛⎭⎫2 2，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－22，0 D.⎝⎛⎭⎫0，2 2 答案 BD 解析 因为f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2 －1 x ， 所以f ′(x ) ＜0⇔⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＞0，2x 2－1＜0，解得0＜x ＜22； f ′(x ) ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，2x 2－1＞0，解得x ＞22. 12．已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )恒成立，可以使不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0的x 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞) 答案 BCD 解析 令F (x )＝f (x )x ， 则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2 ， 因为f (x )>xf ′(x )， 所以F ′(x )<0，F (x )为定义域上的减函数， 由不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0得f ⎝⎛⎭⎫1x 1x >f (x )x ， 所以1x 13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 答案 673 解析 由a n ＝2 020－3n >0，得n <2 0203＝67313 ， 又∵n ∈N *，∴n 的最大值为673. 14．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________． 答案 6 解析 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列， 其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2 ＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102. 由于26＝,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6. 15．已知a <0，函数f (x )＝ax 3＋12a ln x ，且f ′(1)的最小值是－12，则实数a 的值为________． 函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为________． 答案 －2 －2 解析 f ′(x )＝3ax 2＋12ax ， 所以f ′(1)＝3a ＋12a ≥－12，即a ＋4a ≥－4. 又a <0，有a ＋4a ≤－4， 所以a ＋4a ＝－4，故a ＝－2. 所以f (x )＝－2x 3－6ln x ， f ′(x )＝－6x 2－6x ＝－6⎝⎛⎭⎫x 2＋1x <0， 所以函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，函数f (x )在区间[1,2]上的最大值是 f (1)＝－2. 16．若函数f (x )＝4x x 2＋1 在区间(m ,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,0] 解析 f ′(x )＝4－4x 2 (x 2＋1)2 . 由f ′(x )>0，解得－1 又因为f (x )在(m ,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－1，m <2m ＋1， 2m ＋1≤1，解得－1 四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值． (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程． 解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a . 因为f (x )在x ＝3处取得极值， 所以f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0， 解得a ＝3. 所以f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8. (2)A 点在f (x )上， 由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18， f ′(1)＝6－24＋18＝0， 所以切线方程为y ＝16. 18．(12分)在①S n ＝n 2＋n ，②a 3＋a 5＝16，S 3＋S 5＝42，③a n ＋1a n ＝n ＋1n ，S 7＝56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，________，b 1＝a 1，b 2＝a 1a 22 . 求数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫1S n ＋b n 的前n 项和T n . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解 选①： 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2, 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n , 又n ＝1满足a n ＝2n ， 所以a n ＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2 ＝n 2＋n (n ∈N *)； 选②： 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＋a 5＝16，S 3＋S 5＝42， 得⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋6d ＝16，8a 1＋13d ＝42， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝2， 所以a n ＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2 ＝n 2＋n (n ∈N *)； 选③： 由 a n ＋1a n ＝n ＋1n ， 得a n ＋1n ＋1＝a n n ， 所以a n n ＝a 11 ， 即a n ＝a 1·n , S 7＝7a 4＝28a 1＝56， 所以a 1＝2， 所以a n ＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2 ＝n 2＋n (n ∈N *)． ①②③均可求得a n ＝2n ， S n ＝n (2＋2n )2 ＝n 2＋n (n ∈N *)， 设{b n }的公比为q ， 又因为a 1＝2，a 2＝4， 由b 1＝a 1＝2，b 2＝a 1a 22 ＝4, 得b 1＝2，q ＝2， 所以b n ＝2n (n ∈N *)， 所以数列{b n }的前n 项和为2－2n ＋ 11－2 ＝2n ＋1－2， 因为1S n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 故T n ＝2n ＋1－2＋1－1n ＋1＝2n ＋1－1n ＋1 －1. 19．(12分)已知函数f (x )＝12 x 2＋a ln x . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值． 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 函数f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为12 ，无极大值． (2)当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝12 ， f (x )max ＝f (e)＝12 e 2＋1. 20．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 1＝－1，S 10S 5＝3132 . (1)求等比数列{a n }的公比q ； (2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n . 解 (1)由S 10S 5＝3132 ，a 1＝－1， 知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132 . 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132 ，q ＝－12 . (2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝⎛⎭ ⎫－12n －1， 所以a 2n ＝⎝⎛⎭⎫14n －1， 所以数列{a 2n }是首项为1，公比为14 的等比数列， 故a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14 ＝43⎝⎛⎭⎫1－14n . 21．(12分)数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G 技术领先世界．目前某区域市场中5G 智能终端产品的制造由H 公司及G 公司提供技术支持．据市场调研预测，5G 商用初期，该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品占比分别为a 0＝55%及b 0＝45%，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用G 公司技术的产品中有20%转而采用H 公司技术，采用H 公司技术的产品中仅有5%转而采用G 公司技术．设第n 次技术更新后，该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品占比分别为a n 及b n ，不考虑其他因素的影响． (1)用a n 表示a n ＋1，并求实数λ使{a n －λ}是等比数列； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由？ (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 解 (1)由题意知， 该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品的占比分别为a 0＝55%＝1120 ，b 0＝45%＝920 . 易知经过n 次技术更新后a n ＋b n ＝1， 则a n ＋1＝(1－5%)a n ＋20%b n ＝1920a n ＋15 (1－a n ) ＝34a n ＋15，即a n ＋1＝34a n ＋15 (n ∈N )，① 由①式，可设a n ＋1－λ＝34(a n －λ)⇔a n ＋1＝34a n ＋λ4 ， 对比①式可知λ4＝15⇒λ＝45 . 又a 1＝34a 0＋15＝34×1120＋15＝4980，a 1－45＝4980－45＝－316 . 从而当λ＝45时，⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫a n －45是以－316为首项，34为公比的等比数列． (2)由(1)可知a n －45＝－316·⎝⎛⎭⎫34n －1＝－14·⎝⎛⎭ ⎫34n ， 所以经过n 次技术更新后，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比a n ＝45－14·⎝⎛⎭ ⎫34n . 由题意，令a n >75%，得45－14 ·⎝⎛⎭⎫34 n >34⇔⎝⎛⎭⎫34 n <15⇔n lg 34 ＝1－lg 22lg 2－lg 3≈1－0.3012×0.301－0.477 ＝0.6990.125 ＝0.699×8＝5.592>5.故n ≥6， 即至少经过6次技术更新，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上． 22．(12分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值； (2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (3)探讨函数F (x )＝ln x －1e x ＋2e x 是否存在零点？若存在，求出函数F (x )的零点，若不存在，请说明理由． 解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 由f ′(x )<0得0 ， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭ ⎫1e ，＋∞上单调递增． 当0 ， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . 当t >1e 时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ， ∴f (x )min ＝⎩⎨⎧ －1e ，0 (2)原问题可化为a ≤2ln x ＋x ＋3x ， 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)， 则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2 ， 当0 ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a 的取值范围为(－∞，4]． (3)令F (x )＝0，得ln x －1e x ＋2e x ＝0， 即x ln x ＝x e x －2e (x >0)， 由(1)知当且仅当x ＝1e 时，f (x )＝x ln x (x >0)的最小值是f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ， 设φ(x )＝x e x －2e (x >0)，则φ′(x )＝1－x e x ， 易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴当且仅当x ＝1时，φ(x )取最大值，且φ(1)＝－1e ， ∴对x ∈(0，＋∞)都有x ln x >x e x －2e ， 即F (x )＝ln x －1e x ＋2e x >0恒成立． ∴函数F (x )无零点．下载本文
