等比数列： 

若q＝1 则S=n*a1 

若q≠1 

推倒过程： 

S=a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^(n-1) 

等式两边同时乘q 

S*q=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^ 

1式－2式 有 

S=a1*(1-q^n)/(1-q) 

等差数列 

推倒过程： 

S=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……(a1+(n-1)*d) 

把这个公式倒着写一遍 

S=(a1+(n-1)*d) +(a1+(n-2)*d)+(a1+(n-3)*d)+……＋a1 

上两式相加有 

S＝(2a1+(n-1)d)*n/2=n*a1+n*(n-1)*d/2

一、 等差数列 

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。 

等差数列的通项公式为： 

an=a1+(n-1)d (1) 

前n项和公式为： 

Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 

从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。 

在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项。 

， 

且任意两项am，an的关系为： 

an=am+(n-m)d 

它可以看作等差数列广义的通项公式。 

从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： 

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有 

am+an=ap+aq 

Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。 

和＝（首项＋末项）*项数÷2 

项数＝（末项-首项）÷公差＋1 

首项=2和÷项数-末项 

末项=2和÷项数-首项 

项数=(末项－首项）/公差＋1 

等差数列的应用： 

日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别 

时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，长安等差数列进行分级。 

若为等差数列，且有ap=q,aq=p.则a(p+q)＝－（p+q)。 

若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。 

等比数列： 

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 

（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1） 

（2）前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q) 

且任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) 

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} 

（4）若m，n，p，q∈N*，则有：ap·aq=am·an， 

等比中项：aq·ap=2ar ar则为ap，aq等比中项。 

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 

性质： 

①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq； 

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. 

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. 

在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。 

等比数列在生活中也是常常运用的。 

如：银行有一种支付利息的方式---复利。 

即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金， 

在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。 

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)存期 下载本文