一、选择题（共6小题，每题2分，共12分）.  

1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）

A．正方形    B．等边三角形    C．直角三角形    D．平行四边形

2．下列调查中，更适宜普查的是（　　）

A．某本书的印刷错误    

B．某产品的使用寿命    

C．某条河中鱼的种类    

D．大众对某电视节目的喜好程度

3．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则下列有关两枚骰子点数的事件中是必然事件的是（　　）

A．点数和大于1    B．点数差大于1    

C．点数积大于1    D．点数商大于1

4．在一个不透明的袋子中装有a个红球和3个白球（它们除了颜色外均相同），若从袋中任意摸出一个球，记录下颜色后放回．通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在15%，那么可以推算a大约是（　　）

A．11    B．14    C．17    D．20

5．E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC、BD相交于点O．根据以下条件，不能证明四边形EFGH是矩形的是（　　）

A．AC⊥BD    B．AB＝BC，OB＝OD    

C．AB＝BC，OA＝OC    D．AB＝BC，CD＝AD

6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　）

A．3.2    B．3.4    C．3.6    D．4

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）

7．将一组数据整理后分成了3个组，其中第一组的频率是0.32，第二组的频率是0.60，那么第三组的频率是　     　．

8．从一副扑克牌中任意抽取1张．则下列事件：①这张牌是“A”，②这张牌是“红桃”，③这张牌是“大王”，按其发生的可能性从小到大的顺序是　    　（填写序号）．

9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝　 　．

10．在空气的成分中，氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．若要表示以上信息，最合适的统计图是　      　．

11．某班学生做抛掷图钉的实验，实验结果如下：

12．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠OAB＝65°，则∠BOC＝　    　°．

13．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，AC、BD相交于点O，若CE∥BD，BE∥AC，连接OE，则OE的长是　   　．

14．如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，将EA绕点E顺时针旋转60°，点A的对应点F恰好落在CD上，则∠DAE＝　   　°．

15．在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C的坐标分别是（6，1）、（2，4），则点B的坐标是　      　．

16．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P为AC上一点（与点A、C不重合），连接BP，以PA、PB为邻边作平行四边形PADB，则PD的取值范围是　                　．

三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．如图，E是矩形ABCD边BC上一点，AB＝5，AD＝3．将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对称点为B′．当点B′恰好落在边CD上时，求CB′的长．

18．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上，且CF＝AE．求证：四边形DEBF是矩形．

19．如图，方格纸上每一个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点均在格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BC′，其中点A的对应点是A′，点C的对应点是C′．

（1）画出△A′BC′；

（2）AC与A′C′的位置关系是　        　．

20．求证：菱形的一条对角线平分这一组对角．

已知：如图，AC是菱形ABCD的一条对角线．

求证：　                　．

证明：

21．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．

（1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是　    　（填写序号）．

①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；

②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；

③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．

（2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．

22．张老师准备选择某餐厅为家人庆祝生日，他从网上收集了顾客对该餐厅的评价，整理相应数据，得到下列统计图．

（1）这家餐厅的好评率是　    　；

（2）在好评原因中，如果“食材新鲜”和“环境好”的人数相同，那么在扇形统计图中，“食材新鲜”所对应的圆心角的度数是　    　°；

（3）若有2000名顾客到该餐厅就餐，试估计因为“单价高”给出差评的人数．

23．（1）如图①，线段AB和线段A′B′关于点O对称，只用直尺作对称中心O；

（2）如图②，线段A′B′是线段AB绕点O逆时针旋转后得到的图形（旋转角小于180°），用直尺和圆规作旋转中心O．

24．某校体育老师为了研究八年级学生400m赛跑后心率的分布情况，随机抽取了该年级45名学生，测量了他们赛跑后1min的脉搏次数，结果如下：

132  136  138  141  143  144  144  146  146  147  148  149  149  151  151

152  153  153  154  154  154  156  156  157  157  157  158  158  158  159

159  159  159  161  161  162  162  163  163  1  1  1  1  166  166

（1）该调查中的个体是　                　；

（2）该老师将上述数据分组后，列出了频数分布表，请将频数分布表补充完整；

（3）根据频数分布表画出频数分布直方图．

有一组对角都是直角的四边形叫做“对直角四边形”．

数学理解

（1）下列有关“对直角四边形”的说法正确的是 　   　（填写序号）；

①对直角四边形是轴对称图形；

②对直角四边形的对角互补；

③对直角四边形的一个外角等于与它相邻内角的对角；

④对直角四边形的对角线互相垂直．

（2）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝20，BC＝24，CD＝7，AD＝15．求证：四边形ABCD是对直角四边形．

问题解决

（3）如图②，在对直角四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，CA平分∠BCD．求证AB＝AD．

26．小明在研究“平行四边形的判定”时，发现：一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．他的研究过程如下：

已知在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D．

尝试证明：画出图①，连接AC，要证四边形ABCD是平行四边形，只要证明△ABC≌△CDA．

发现问题：△ABC与△CDA不一定全等，并画出图②所示的两个三角形．

找寻反例：用图②中的两个三角形拼成一个四边形，该四边形一组对边相等，一组对角相等，但它不是平行四边形．

（1）请画出小明找寻出的反例（画图工具不限，并标注相应的数量关系）；

（2）小红和小亮继续研究命题“一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形”的真假．

①小红类比小明的方法，发现该命题是假命题．请你画出一个四边形，该四边形一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分，但它不是平行四边形（画图工具不限，并标注相应的数量关系）．

②小亮在小红的研究基础上，发现“一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分，且这组相等的对边所对的两条对角线形成的角是钝角的四边形是平行四边形”．

如图③，在四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC、BD相交于点O，OB＝OD，∠AOD是钝角．求证：四边形ABCD是平行四边形．

参

一、选择题（共6小题，每题2分，共12分）.  

1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）

A．正方形    B．等边三角形    C．直角三角形    D．平行四边形

解：A、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；

B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

2．下列调查中，更适宜普查的是（　　）

A．某本书的印刷错误    

B．某产品的使用寿命    

C．某条河中鱼的种类    

D．大众对某电视节目的喜好程度

解：A．某本书的印刷错误，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；

B．某产品的使用寿命，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；

C．某条河中鱼的种类，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；

D．大众对某电视节目的喜好程度，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；

故选：A．

3．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则下列有关两枚骰子点数的事件中是必然事件的是（　　）

A．点数和大于1    B．点数差大于1    

C．点数积大于1    D．点数商大于1

解：A．两枚骰子的点数之和大于1，是必然事件；

B．两枚骰子的点数之差大于1，是随机事件；

C．两枚骰子的点数之积大于1，是随机事件；

D．两枚骰子的点数之商大于1，是随机事件．

故选：A．

4．在一个不透明的袋子中装有a个红球和3个白球（它们除了颜色外均相同），若从袋中任意摸出一个球，记录下颜色后放回．通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在15%，那么可以推算a大约是（　　）

A．11    B．14    C．17    D．20

解：由题意可得，＝15%，

解得，a＝17，

经检验a＝17是原方程的解．

故选：C．

5．E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC、BD相交于点O．根据以下条件，不能证明四边形EFGH是矩形的是（　　）

A．AC⊥BD    B．AB＝BC，OB＝OD    

C．AB＝BC，OA＝OC    D．AB＝BC，CD＝AD

解：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

∴HG是△ACD的中位线，EF是△ABC的中位线，

∴HG∥AC且HG＝AC，EF∥AC且EF＝AC，

同理：EH∥BD，

∴HG∥EF且HG＝EF，

∴四边形EFGH为平行四边形，

A、∵AC⊥BD，

∴EF⊥EH，

∴∠FEH＝90°，

∴平行四边形EFGH为矩形，故选项A不符合题意；

B、由AB＝BC，OB＝OD，不能判定平行四边形EFGH是矩形，故选项B符合题意；

C、∵AB＝BC，OA＝OC，

∴BD⊥AC，

同选项A得：平行四边形EFGH是矩形，故选项C不符合题意；

D、∵AB＝BC，CD＝AD，

∴点B在AC的垂直平分线上，点D在AC的垂直平分线上，

∴BD⊥AC，

同选项A得：平行四边形EFGH是矩形，故选项D不符合题意；

故选：B．

6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　）

A．3.2    B．3.4    C．3.6    D．4

解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，

∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，

∴四边形ABCG为正方形，

∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，

∵AD＝3，

∴DG＝4﹣3＝1，

∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，

∴△EBC≌△FGC（SAS），

∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，

∵∠DCE＝45°，

∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，

∴∠DCE＝∠DCF，

∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，

∴△ECD≌△FCD（SAS），

∴ED＝DF，

设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，

∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，

Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，

∴（5﹣x）2+32＝x2，

解得：x＝3.4，

∴DE＝3.4．

故选：B．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）

7．将一组数据整理后分成了3个组，其中第一组的频率是0.32，第二组的频率是0.60，那么第三组的频率是　0.08　．

解：∵将一组数据整理后分成了3个组，其中第一组的频率是0.32，第二组的频率是0.60，

∴第三组的频率是：1﹣0.32﹣0.60＝0.08．

故答案为：0.08．

8．从一副扑克牌中任意抽取1张．则下列事件：①这张牌是“A”，②这张牌是“红桃”，③这张牌是“大王”，按其发生的可能性从小到大的顺序是　③①②　（填写序号）．

解：∵一副扑克牌中含“A”4张，“红桃”13张，“大王”1张，

∵1＜4＜13，

∴将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列：③①②．

故答案为：③①②．

9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝　5　．

解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE＝BC＝5，

故答案为：5．

10．在空气的成分中，氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．若要表示以上信息，最合适的统计图是　扇形统计图　．

解：最合适的统计图是扇形统计图．

故答案为：扇形统计图．

11．某班学生做抛掷图钉的实验，实验结果如下：

解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到0.39附近，

所以估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为0.39，

故答案为：0.39．

12．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠OAB＝65°，则∠BOC＝　130　°．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，

∴OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB＝65°，

∴∠BOC＝∠OAB+∠OBA＝65°+65°＝130°，

故答案为：130．

13．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，AC、BD相交于点O，若CE∥BD，BE∥AC，连接OE，则OE的长是　13　．

解：∵CE∥BD，BE∥AC，

∴四边形OBEC是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OC＝OA＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝5，AC⊥BD，

∴∠BOC＝90°，

∴BC＝＝＝13，

∵四边形OBEC是平行四边形，

∴平行四边形OBEC是矩形，

∴OE＝BC＝13，

故答案为：13．

14．如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，将EA绕点E顺时针旋转60°，点A的对应点F恰好落在CD上，则∠DAE＝　75　°．

解：连接AF，如图所示：

由旋转的性质得：AE＝EF，∠AEF＝60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠EAF＝60°，AE＝AF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）＝15°，

∴∠DAE＝∠DAF+∠EAF＝15°+60°＝75°，

故答案为：75．

15．在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C的坐标分别是（6，1）、（2，4），则点B的坐标是　（8，5）　．

解：∵四边形OABC是平行四边形，

∴OA∥CB，且OA＝CB，

∵点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（6，1），

∴相当于将点O向右平移6个单位，向上平移1个单位，

∴点C（2，4）向右平移6个单位，向上平移1个单位为（8，5），

故答案为：（8，5）．

16．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P为AC上一点（与点A、C不重合），连接BP，以PA、PB为邻边作平行四边形PADB，则PD的取值范围是　2≤PD＜4　．

解：如图，设AB与DP交于点O，连接OC，

∵四边形ADBP是平行四边形，

∴AO＝BO＝2，DP＝2OP，

∵△ABC是等边三角形，AO＝BO，

∴OC⊥AB，∠BOC＝90°，

∴∠BCO＝30°，

∴OC＝OB＝2，

当点P与点C重合时，此时OP有最大值，

∴DP的最大值为4，

当OP⊥AC时，此时OP有最小值，

∵S△AOC＝×AO×CO＝×AC×OP，

∴OP＝，

∴DP的最小值为2，

∴2≤PD＜4，

故答案为2≤PD＜4．

三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．如图，E是矩形ABCD边BC上一点，AB＝5，AD＝3．将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对称点为B′．当点B′恰好落在边CD上时，求CB′的长．

解：由题意，得AB′＝AB＝5．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝5，∠D＝90°．

在Rt△ADB′中，∠D＝90°，AB′＝5，AD＝3，

∴B′D2＝AB′2﹣AD2＝16，

即B′D＝4．

∴CB′＝CD﹣B′D＝5﹣4＝1．

18．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上，且CF＝AE．求证：四边形DEBF是矩形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝DC，AB∥DC，

∵AE＝CF，

∴AB﹣AE＝DC﹣CF，

即DF＝EB，

又∵AB∥DC，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

∴▱DEBF是矩形．

19．如图，方格纸上每一个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点均在格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BC′，其中点A的对应点是A′，点C的对应点是C′．

（1）画出△A′BC′；

（2）AC与A′C′的位置关系是　AC⊥A′C′　．

解：（1）如图，△A′BC′即为所求．

（2）结论：AC⊥A′C′．

理由：延长AC交A′C′于J，AC 交BA′于O．

∵∠BAC＝∠BA′C′，∠AOB＝∠A′OJ，

∴∠ABO＝∠A′JO＝90°，

∴AC⊥A′C′．

20．求证：菱形的一条对角线平分这一组对角．

已知：如图，AC是菱形ABCD的一条对角线．

求证：　∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA　．

证明：

解：求证：∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA；

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴DA＝DC，DA∥BC．

∴∠DAC＝∠DCA，

∵DA∥BC，

∴∠DAC＝∠BCA，

∴∠DCA＝∠BCA，

同理∠DAC＝∠BAC．

故答案为：∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA．

21．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．

（1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是　①②③　（填写序号）．

①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；

②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；

③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．

（2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．

解：（1）①转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误；

②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误；

③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；

故答案为：①②③．

（2）将1个红色区域改为黄色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．

22．张老师准备选择某餐厅为家人庆祝生日，他从网上收集了顾客对该餐厅的评价，整理相应数据，得到下列统计图．

（1）这家餐厅的好评率是　72%　；

（2）在好评原因中，如果“食材新鲜”和“环境好”的人数相同，那么在扇形统计图中，“食材新鲜”所对应的圆心角的度数是　67.5　°；

（3）若有2000名顾客到该餐厅就餐，试估计因为“单价高”给出差评的人数．

解：（1）由条形统计图可得，

这家餐厅的好评率是：×100%＝72%，

故答案为：72%；

（2）由题意可得，

“食材新鲜”所对应的圆心角的度数是：360°×（1﹣37.5%﹣25%）×＝67.5°，

故答案为：67.5；

（3）2000××25%＝40（人），

答：估计因为“单价高”给出差评的有40人．

23．（1）如图①，线段AB和线段A′B′关于点O对称，只用直尺作对称中心O；

（2）如图②，线段A′B′是线段AB绕点O逆时针旋转后得到的图形（旋转角小于180°），用直尺和圆规作旋转中心O．

解：（1）如图①中，点O即为所求作．

（2）如图②中，点O即为所求作．

24．某校体育老师为了研究八年级学生400m赛跑后心率的分布情况，随机抽取了该年级45名学生，测量了他们赛跑后1min的脉搏次数，结果如下：

132  136  138  141  143  144  144  146  146  147  148  149  149  151  151

152  153  153  154  154  154  156  156  157  157  157  158  158  158  159

159  159  159  161  161  162  162  163  163  1  1  1  1  166  166

（1）该调查中的个体是　某校八年级每一个学生400m赛跑后1min的脉搏次数　；

（2）该老师将上述数据分组后，列出了频数分布表，请将频数分布表补充完整；

（3）根据频数分布表画出频数分布直方图．

（2）根据组距为5，可得各组的分界值，根据频数统计可得各组频数，

故答案为：142，142，2，5；

（3）频率分布直方图如图所示．

25．概念认识

有一组对角都是直角的四边形叫做“对直角四边形”．

数学理解

（1）下列有关“对直角四边形”的说法正确的是 　②③　（填写序号）；

①对直角四边形是轴对称图形；

②对直角四边形的对角互补；

③对直角四边形的一个外角等于与它相邻内角的对角；

④对直角四边形的对角线互相垂直．

（2）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝20，BC＝24，CD＝7，AD＝15．求证：四边形ABCD是对直角四边形．

问题解决

（3）如图②，在对直角四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，CA平分∠BCD．求证AB＝AD．

解：（1）①对直角四边形不一定是轴对称图形，说法错误；

②对直角四边形的对角互补，说法正确；

③对直角四边形的一个外角等于与它相邻内角的对角，说法正确；

④对直角四边形的对角线不一定互相垂直，说法错误；

故答案为：②③；

（2）证明：连接BD，如图①，

在△ABD中，∠A＝90°，AB＝20，AD＝15，

∴BD2＝AB2+AD2＝202+152＝625，

又∵DC2+BC2＝72+242＝625，

∴DC2+BC2＝BD2，

∴△BCD是直角三角形，∠C＝90°，

∴四边形ABCD是对直角四边形；

（3）在BC上取点M，使得CM＝CD，如图②，

∵CA平分∠BCD，

∴∠DCA＝∠MCA，

在△DCA与△MCA中，

，

∴△DCA≌△MCA（SAS），

∴AD＝AM，∠D＝∠CMA，

∵∠DAB＝∠BCD＝90°，

∴∠DAB+∠BCD＝180°，

∴∠D+∠ABC＝180°，

∵∠CMA+∠AMB＝180°，

又∵∠D＝∠CMA，

∴∠ABC＝∠AMB，

∴AB＝AM，

∴AB＝AD．

26．小明在研究“平行四边形的判定”时，发现：一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．他的研究过程如下：

已知在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D．

尝试证明：画出图①，连接AC，要证四边形ABCD是平行四边形，只要证明△ABC≌△CDA．

发现问题：△ABC与△CDA不一定全等，并画出图②所示的两个三角形．

找寻反例：用图②中的两个三角形拼成一个四边形，该四边形一组对边相等，一组对角相等，但它不是平行四边形．

（1）请画出小明找寻出的反例（画图工具不限，并标注相应的数量关系）；

（2）小红和小亮继续研究命题“一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形”的真假．

①小红类比小明的方法，发现该命题是假命题．请你画出一个四边形，该四边形一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分，但它不是平行四边形（画图工具不限，并标注相应的数量关系）．

②小亮在小红的研究基础上，发现“一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分，且这组相等的对边所对的两条对角线形成的角是钝角的四边形是平行四边形”．

如图③，在四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC、BD相交于点O，OB＝OD，∠AOD是钝角．求证：四边形ABCD是平行四边形．

解：（1）反例如图1所示（其中AB＝CD，∠B＝∠D），

（2）①四边形如图2所示（在该四边形中，AB＝CD，OB＝OD），

②证明：如图3，分别过点B、D作对角线AC上的高BE、DF，其中E、F为垂足，

∵∠AOD、∠BOC都是钝角，

∴E、F分别在OA、OC上，

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠BEO＝∠DFO＝90°，

在△BEO和△DFO中，

，

∴△BEO≌△DFO（AAS），

∴BE＝DF，

又∵BC＝DA，

在Rt△CBE与Rt△ADF中，

，

∴Rt△CBE≌Rt△ADF（HL），

∴∠BCE＝∠DAF，

∴AD∥BC，

又∵AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．下载本文