数学(理工农医类)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

(1) 设集合A和B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是    (    )

(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：

(12) 如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为    (    )

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．

(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答) 

(14) 椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是________

(15) 设是首项为1的正项数列，且(=1，2，3，…)，则它的通项公式是=_______

(16) 如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都填上)

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(17) (本小题满分12分)

已知函数，．

(I) 当函数取得最大值时，求自变量的集合；

(II) 该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

(18) (本小题满分12分)

如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且===．

(I) 证明：⊥BD；

(II) 假定CD=2， =，记面为，面CBD为，求二面角的平面角的余弦值；

 当的值为多少时，能使平面？请给出证明．

(19) (本小题满分12分)

设函数，其中．

(I) 解不等式；

(II) 求的取值范围，使函数在区间上是单调函数．

(20) (本小题满分12分)

(I) 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；

(II) 设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列．

(21) (本小题满分12分)

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=；

 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=；

(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天)

(22) (本小题满分14分)

如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围．

2000年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．

(1)C        (2)B        (3)D        (4)D        (5)D        (6)C        (7)B (8)C        (9)A        (10)C       (11)C        (12)D

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．

(－  ②③

三．解答题

(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．

解：(Ⅰ)

y=cos2x＋sinxcosx＋1

= (2cos2x－1)＋＋(2sinxcosx)＋1

=cos2x＋sin2x＋= (cos2x·sin＋sin2x·cos)＋

=sin(2x＋)＋ ——6分

y取得最大值必须且只需

2x＋=＋2kπ，k∈Z，

即 x=＋kπ，k∈Z． 

所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为

{x|x=＋kπ，k∈Z ——8分

(Ⅱ)将函数y=sinx依次进行如下变换：

(i)把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x＋)的图像；

(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x＋)的图像；

(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x＋)的图像；

(iv)把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x＋)＋的图像；综上得到函数y=cos2x＋sinxcosx＋1的图像． ——12分

(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．

(Ⅰ)证明：连结A1C1、AC、AC和BD交于O，连结C1O．

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，BD=CD．

又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C= C1C，

∴ △C1BC≌△C1DC

∴ C1B=C1D，

∵ DO=OB

∴ C1O⊥BD，                                                       ——2分

但AC⊥BD，AC∩C1O=O，

∴ BD⊥平面AC1，

又C1C平面AC1

∴ C1C⊥BD．                                                       ——4分

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC⊥BD，C1O⊥BD，

∴ ∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角．

在△C1BC中，BC=2，C1C=，∠BCC1=60º，

∴ C1B2=22＋()2－2×2××cos60º= ——6分

∵ ∠OCB=30º，

∴ OB=BC=1．

∴C1O2= C1B2－OB2=，

∴ C1O=即C1O= C1C．

作 C1H⊥OC，垂足为H．

∴ 点H是OC的中点，且OH=，

所以cos∠C1OC==． ——8分

(Ⅲ)当=1时，能使A1C⊥平面C1BD

证明一：

∵ =1，

∴ BC=CD= C1C，

又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，

由此可推得BD= C1B = C1D．

∴ 三棱锥C－C1BD是正三棱锥． 分

设A1C与C1O相交于G．

∵ A1 C1∥AC，且A1 C1∶OC=2∶1，

∴ C1G∶GO=2∶1．

又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，

∴ 点G是正三角形C1BD的中心，

∴ CG⊥平面C1BD．

即A1C⊥平面C1BD．                                                ——12分

证明二：

由(Ⅰ)知，BD⊥平面AC1，

∵ A1 C平面AC1，∴BD⊥A1 C． ——10分

当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同BD⊥A1 C的证法可得BC1⊥A1C，

又BD⊥BC1=B，

∴ A1C⊥平面C1BD．                                               ——12分

(19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．

解：(Ⅰ)不等式f(x) ≤1即

≤1＋ax，

由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a＞0．

所以，原不等式等价于

即 分

所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0}；

当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}． ——6分

(Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x1、x2，使得x1＜x2．

f(x1)－f(x2)= －－a(x1－x2)

 －a(x1－x2)

 x1－x2)(－a)． 分

(ⅰ)当a≥1时

∵ <1

∴－a<0，

又x1－x2<0，

∴ f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2)．

所以，当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调递减函数． ——10分

(ii)当0综上，当且仅当a≤1时，函数f(x)在区间上是单调函数． 分

(20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．

解：(Ⅰ)因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有

（cn+1－pcn）2=( cn+2－pcn+1)(cn－pcn－1)，

将cn=2n＋3n代入上式，得

[2n＋1+3n＋1－p(2n＋3n)]2

=[2n＋2+3n＋2－p(2n+1＋3n+1)]·[2n+3n－p(2n－1＋3n－1)]， 分

即[(2－p)2n+(3－p)3n]2

=[(2－p)2n+1+(3－p)3n+1][ (2－p)2n－1+(3－p)3n－1]，

整理得(2－p)(3－p)·2n·3n=0，

解得p=2或p=3． 分

(Ⅱ)设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn．

为证{cn}不是等比数列只需证≠c1·c3．

事实上， =(a1p＋b1q)2=p2＋q2＋2a1b1pq，

c1·c3=(a1＋b1)(a1 p2＋b1q2)= p2＋q2＋a1b1(p2＋q2)．

由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，

因此c1·c3，故{cn}不是等比数列． 分

(21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．

解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

f(t)= 分

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

g(t)= (t－150)2＋100，0≤t≤300． 分

(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得

h(t)=f(t)－g(t)

即h(t)= 分

当0≤t≤200时，配方整理得

h(t)=－(t－50)2＋100，

所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；

当200h(t)=－(t－350)2＋100

所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5． 分

综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 分

(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分． 

解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称． ——2分

依题意，记A(－c，0)，C(，h)，E(x0, y0)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．

由定比分点坐标公式得

x0==，

．

设双曲线的方程为，则离心率.

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得

， ①

． ② 分

由①式得 ， ③

将③式代入②式，整理得

，

故 ． 分

由题设得，．

解得．

所以双曲线的离心率的取值范围为． 分下载本文