************ 工程管理 孟令清
一、第一类曲线积分的计算:
设有光滑曲线, . 是定义在
上的连续函数 . 则
.证 ) [1]P357
若曲线方程为: , 则
.
的方程为时有类似的公式.
例题：计算积分, 其中是球面被平面
截得的圆周 P359 E3
解 由对称性知 , ,
=. ( 注意是大圆 )
二、第二类曲线积分的计算:
曲线的自然方向: 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.
设L为光滑或按段光滑曲线 , L : .
A, B; 函数和在L上连续, 则沿L的自然方向( 即从点A到点B的方向)有
.
（一）Green公式:
若函数P和Q在闭区域DR上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有
,
其中L为区域D的正向边界.
应用举例:
对环路积分, 可直接应用Green公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成
环路积分的技巧.
例题：计算积分 , 其中AB. 曲线AB为圆周
在第一象限中的部分
解法一 ( 直接计算积分 ) 曲线AB的方程为 .
方向为自然方向的反向. 因此
.
解法二 ( 用Green公式 ) 补上线段BO和OA ( O为坐标原点 ), 成闭路. 设所围
区域为D, 注意到D为反向, 以及, 有
.
（二）曲线积分与路线无关性:
积分与路径无关的等价条件:
设DR是单连通闭区域. 若函数和在闭区域D内连续, 且有
连续的一阶偏导数 , 则以下四个条件等价 :
ⅰ> 沿D内任一按段光滑的闭合曲线L, 有 .
ⅱ> 对D内任一按段光滑的曲线L, 曲线积分与路径无关, 只与曲线L的起点和终点有关.
ⅲ> 是D内某一函数的全微分, 即在D内有.
ⅳ> 在D内每一点处有 .
三、第一类曲面积分的计算:
设有光滑曲面 .为上的连续函数,
则.
四、第二型曲面积分的计算:
设是定义在光滑曲面
D
上的连续函数, 以的上侧为正侧( 即 ), 则有
.
（一）第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系:
设为曲面的指定法向, 则
.
（二）Gauss公式:
设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面围成 . 若函数在V
上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则
,
其中取外侧.
例：计算积分， 为球面取外侧.参阅上节例2 )
解 .
由Gauss公式 .
（三）Stokes公式:
空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系: 右手螺旋法则, 即当人站
在曲面的正侧上, 沿边界曲线L行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前进方向定为L的正向.
Stokes定理:
设光滑曲面的边界L是按段光滑的连续曲线 . 若函数、和在( 连同L )上连续 ,且有一阶连续的偏导数 , 则
.
其中的侧与L的方向按右手法则确定 .
Stokes公式也记为 .下载本文
