一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分

1．下列分数中，能化为有限小数的是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．下列运算正确的是（　　）

A．a+a=a2    B．a2•a=2a3    C．a3÷a2=a    D．（a2）3=a5

3．如果=2a﹣1，那么（　　）

A．a    B．a≤    C．a    D．a≥

4．下列一组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数和方差分别是（　　）

A．0和2    B．0和    C．0和1    D．0和0

5．下列四个命题中真命题是（　　）

A．矩形的对角线平分对角    B．菱形的对角线互相垂直平分

C．梯形的对角线互相垂直    D．平行四边形的对角线相等

6．如果圆O是△ABC的外接圆，AC=BC，那么下列四个选项中，直线l必过圆心O的是（　　）

A．l⊥AC    B．l平分AB    C．l平分∠C    D．l平分

二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分

7．用代数式表示实数a（a＞0）的平方根：　　　　　　．

8．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2=　　　　　　．

9．已知方程﹣=2，如果设y=，那么原方程转化为关于y的整式方程为　　．

10．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x的取值范围是　　　　　　时，能使kx+b＞0．

11．某公司承担了制作600个道路交通指引标志的任务，在实际操作时比原计划平均每天多制作了10个，因此提前了5天完成任务，如果设原计划x天完成，那么根据题意，可以列出的方程是：　　　　　　．

12．一台组装电脑的成本价是4000元，如果商家以5200元的价格卖给顾客，那么商家的盈利率为　　　　　　．

13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数，那么掷出的点数小于3的概率为　　　　　　．

14．已知=， =，那么=　　　　　　（用向量、的式子表示）

15．已知，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD=2DB，BC=6，那么DE=　　　　　　．

16．将某班级全体同学按课外阅读的不同兴趣分成三组，情况如表格所示，则表中a的值应该是　　　　　　． 

18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P为BC边上一动点，如果以P为圆心，BP为半径的圆P与以AC为直径的圆O相交，那么点P离开点B的距离BP的取值范围是　　　　　　．

三、解答题：本大题共7小题，共78分

19．先化简，再求值：﹣﹣，其中x=．

20．解方程组：．

21．已知：在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣5，2）向x轴作垂线，垂足为B，连接AO，点C在线段AO上，且AC：CO=2：3，反比例函数y=的图象经过点C，与边AB交于点D．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求△BOD的面积．

22．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）

23．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交边AB于点P，点D在边AC上．

（1）如果PD∥BC，求证：AC•CD=AD•BC；

（2）如果∠BPD=135°，求证：CP2=CB•CD．

24．已知点A（2，﹣2）和点B（﹣4，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上．

（1）求a的值及点B的坐标；

（2）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；

（3）将抛物线y=ax2（a≠0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的表达式．

25．已知，AB=5，tan∠ABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．

（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；

（2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；

（3）联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．

2016年上海市杨浦区中考数学三模试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分

1．下列分数中，能化为有限小数的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】有理数的除法．

【分析】本题需根据有理数的除法法则分别对每一项进行计算，即可求出结果．

【解答】解：A∵=0.3…故本选项错误；

B、∵=0.2故本选项正确；

C、=0.142857…故本选项错误；

D、=0.1…故本选项错误．

故选B．

2．下列运算正确的是（　　）

A．a+a=a2    B．a2•a=2a3    C．a3÷a2=a    D．（a2）3=a5

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】A、根据合并同类项的法则计算；

B、根据同底数幂的乘法法则计算；

C、根据同底数幂的除法计算；

D、根据幂的乘方计算．

【解答】解：A、a+a=2a，此选项错误；

B、a2•a=a3，此选项错误；

C、a3÷a2=a，此选项正确；

D、（a2）3=a6，此选项错误．

故选C．

3．如果=2a﹣1，那么（　　）

A．a    B．a≤    C．a    D．a≥

【考点】二次根式的性质与化简．

【分析】由二次根式的化简公式得到1﹣2a为非正数，即可求出a的范围．

【解答】解：∵ =|1﹣2a|=2a﹣1，

∴1﹣2a≤0，

解得：a≥．

故选D

4．下列一组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数和方差分别是（　　）

A．0和2    B．0和    C．0和1    D．0和0

【考点】方差；算术平均数．

【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]进行计算即可．

【解答】解：这组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数是（﹣2﹣1+0+1+2）÷5=0；

则方差= [（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2；

故选A．

5．下列四个命题中真命题是（　　）

A．矩形的对角线平分对角    B．菱形的对角线互相垂直平分

C．梯形的对角线互相垂直    D．平行四边形的对角线相等

【考点】命题与定理．

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【解答】解：矩形的对角线不能平分对角，A错误；

根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，B正确；

梯形的对角线不互相垂直，C错误；

平行四边形的对角线平分，但不一定相等，D错误．

故选B．

6．如果圆O是△ABC的外接圆，AC=BC，那么下列四个选项中，直线l必过圆心O的是（　　）

A．l⊥AC    B．l平分AB    C．l平分∠C    D．l平分

【考点】三角形的外接圆与外心．

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．

【解答】解：∵圆O是△ABC的外接圆，

∴点O在三边的垂直平分线上．

∵AC=BC，

∴当l平分∠C时，l也是AB边的垂直平分线．

故选C．

二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分

7．用代数式表示实数a（a＞0）的平方根：　　．

【考点】平方根．

【分析】根据开方运算，可得一个数的平方根．

【解答】解：用代数式表示实数a（a＞0）的平方根为：，

故答案为：．

8．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2=　x（x﹣y）2　．

【考点】实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】这个多项式含有公因式x，应先提取公因式，然后运用完全平方公式进行二次分解．

【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，

=x（x2﹣2xy+y2）…（提取公因式）

=x（x﹣y）2．…（完全平方公式）

9．已知方程﹣=2，如果设y=，那么原方程转化为关于y的整式方程为　3y2﹣6y﹣1=0　．

【考点】列代数式．

【分析】由设出的y，将方程左边前两项代换后，得到关于y的方程，去分母整理即可得到结果．

【解答】解：设y=，

方程﹣=2变形为y﹣=2，

整理得：3y2﹣6y﹣1=0．

故答案为：3y2﹣6y﹣1=0

10．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x的取值范围是　x＜2　时，能使kx+b＞0．

【考点】一次函数的图象．

【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答．

【解答】解：因为直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），

由函数的图象可知x＜2时，y＞0，即kx+b＞0．

11．某公司承担了制作600个道路交通指引标志的任务，在实际操作时比原计划平均每天多制作了10个，因此提前了5天完成任务，如果设原计划x天完成，那么根据题意，可以列出的方程是：　﹣=5　．

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．

【分析】根据原计划时间﹣实际时间=5，列出方程即可．

【解答】解：∵根据原计划时间﹣实际时间=5，

∴﹣=5．

故答案为﹣=5．

12．一台组装电脑的成本价是4000元，如果商家以5200元的价格卖给顾客，那么商家的盈利率为　30%　．

【考点】有理数的混合运算．

【分析】根据利润率的公式：利润率=利润÷成本×100%进行计算．

【解答】解：÷4000×100%=30%．

答：商家的盈利率为30%．

13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数，那么掷出的点数小于3的概率为　　．

【考点】概率公式．

【分析】点数小于3的有2种情况，除以总个数6即为向上的一面的点数小于3的概率．

【解答】解：∵共有6种情况，点数小于3的有2种，

∴P（点数小于3）=．

故答案为

14．已知=， =，那么=　﹣　（用向量、的式子表示）

【考点】*平面向量．

【分析】根据+=，即可解决问题．

【解答】解：∵ +=，

∴=﹣．

故答案为﹣．

15．已知，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD=2DB，BC=6，那么DE=　4　．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．

【解答】解：∵AD=2DB，

∴AD：AB=2：3，

∵DE∥BC，

∴=，∵BC=6，

∴=，

∴DE=4．

故答案为4．

16．将某班级全体同学按课外阅读的不同兴趣分成三组，情况如表格所示，则表中a的值应该是　7　． 

【分析】首先根据各小组的频率之和等于1得出第一组与第二组的频率和，然后求出数据总数，从而求出a的值．

【解答】解：∵1﹣20%=80%，

∴（16+12）÷80%=35，

∴a=35×20%=7．

故答案为：7．

17．将等边△ABC沿着射线BC方向平移，点A、B、C分别落在点D、E、F处，如果点E恰好是BC的中点，那么∠AFE的正切值是　　．

【考点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义．

【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质解答即可．

【解答】解：连接AE，如图：，

∵将等边△ABC沿着射线BC方向平移，点E恰好是BC的中点，

∴设等边三角形的边长为a，

∴AE=，AE⊥BF，

∴∠AFE的正切值=，

故答案为：

18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P为BC边上一动点，如果以P为圆心，BP为半径的圆P与以AC为直径的圆O相交，那么点P离开点B的距离BP的取值范围是　≤BP≤9　．

【考点】圆与圆的位置关系．

【分析】过点A作AD⊥BC，利用等腰三角形的性质得出CD的长，利用圆与圆的位置关系解答即可．

【解答】解：①过点A作AD⊥BC，过O作OH⊥BC，如图

∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，

∴CD=BD=6，

∴AD=，

设BP=r时，两圆相外切，则PO=r+5，PH=BC﹣r﹣CH

又易求OH=4，CH=3；

则有勾股定理（r+5）2=（9﹣r）2+42，解得r=

②当两圆内切时，过点A作AD⊥BC，过O作OH⊥BC，如图

易知OP=r﹣5，PH=9﹣r，OH=4

同理由勾股定理求得r=9

故答案为：≤BP≤9．

三、解答题：本大题共7小题，共78分

19．先化简，再求值：﹣﹣，其中x=．

【考点】分式的化简求值．

【分析】原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=﹣﹣

=

=

=

=，

当x=﹣2时，原式==1+．

20．解方程组：．

【考点】高次方程．

【分析】先将原方程组进行变形，利用代入法和换元法可以解答本题．

【解答】解：，

由①，得

③，

将①③代入②，得

，

设x2=t，

则，

即t2﹣10t+9=0，

解得，t=1或t=9，

∴x2=1或x2=9，

解得x=±1或x=±3，

则或或或，

即原方程组的解是：或或或．

21．已知：在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣5，2）向x轴作垂线，垂足为B，连接AO，点C在线段AO上，且AC：CO=2：3，反比例函数y=的图象经过点C，与边AB交于点D．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求△BOD的面积．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质．

【分析】（1）由A点的坐标结合中点的坐标公式可得出点C的坐标，将点C的坐标代入到反比例函数解析式即可求出k值，从而得出反比例函数的解析式；

（2）AB⊥x轴于B，于是得到OB=5，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：（1）∵AC：CO=2：3，点A（﹣5，2），

∴C点的坐标为（﹣3，），

将点C（﹣3，），代入到反比例函数y=中得：

=，解得：k=﹣．

∴反比例函数的解析式为y=﹣；

（2）∵AB⊥x轴于B，

∴OB=5，

∴△BOD的面积=×5×=3．

22．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案．

【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x．

在Rt△ACD中，sin∠A=，AC==2x，

在Rt△BCD中，sin∠B=，BC==x，

∵AC+BC=2x+x=68

∴x=≈=20． 

在Rt△ACD中，tan∠A=，AD==20，

在Rt△BCD中，tan∠B=，BD==20，

AB=20+20≈54，

AC+BC﹣AB=68﹣54=14.0（km）．

答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．

23．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交边AB于点P，点D在边AC上．

（1）如果PD∥BC，求证：AC•CD=AD•BC；

（2）如果∠BPD=135°，求证：CP2=CB•CD．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据角平分线的性质和平行线的性质证得∠CPD=∠PCA，得出PD=CD，然后证得△APD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可证得结论；

（2）根据三角形内角和定理求得∠B=∠CPD，即可证得△PCB∽△PDC根据相似三角形的性质即可证得结论．

【解答】（1）证明：如图，∵PD∥BC，

∴∠PCB=∠CPD，

∵∠PCB=∠PCA，

∴∠CPD=∠PCA，

∴PD=CD，

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ABC，

∴=，

∴AC•PD=AD•BC，

∴AC•CD=AD•BC；

（2）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交边AB于点P，

∴∠PCB=∠PCA=45°，

∵∠B+45°+∠CPB=180°，

∴∠B+∠CPB=135°，

∵∠BPD=135°，

∴∠CPB+∠CPD=135°，

∴∠B=∠CPD，

∴△PCB∽△PDC，

∴=，

∴CP2=CB•CD．

24．已知点A（2，﹣2）和点B（﹣4，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上．

（1）求a的值及点B的坐标；

（2）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；

（3）将抛物线y=ax2（a≠0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的表达式．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移．

【分析】（1）把点A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a，再把点B代入抛物线解析式即可解决问题．

（2）求出直线AB解析式，再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式，过点B垂直于直线AB的解析式即可解决问题．

（3）先求出点A′坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题．

【解答】解：（1）把点A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a=﹣，

∴抛物线为y=﹣x2，

∴x=﹣4时，y=﹣8，

∴点B坐标（﹣4，﹣8），

∴a=﹣，点B坐标（﹣4，﹣8）．

（2）设直线AB为y=kx+b，则有，解得，

∴直线AB为y=x﹣4，

∴过点B垂直AB的直线为y=﹣x﹣12，与y轴交于点P（0，﹣12），

过点A垂直AB的直线为y=﹣x，与y轴交于点P′（0，0），

∴点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形时．点P坐标为（0，0），或（0，﹣12）．

（3）如图四边形ABB′A′是正方形，过点A作y轴的垂线，过点B、点A′作x轴的垂线得到点E、F．

∵直线AB解析式为y=﹣x﹣12，∴△ABF，△AA′E都是等腰直角三角形，

∵AB=AA′==6，

∴AE=A′E=6，

∴点A′坐标为（8，﹣8），

∴点A到点A′是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到，

∴抛物线y=﹣x2的顶点（0，0），向右平移6个单位，向下平移6个单位得到（6，﹣6），

∴此时抛物线为y=﹣（x﹣6）2﹣6．

25．已知，AB=5，tan∠ABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．

（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；

（2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；

（3）联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．

【考点】三角形综合题．

【分析】（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H，先证明BF⊥DE，EF=DF，再利用△ABH∽△DBF，得=，求出DF即可解决问题．

（2）先证明四边形ADBE是平行四边形，根据S平行四边形ADBE=BD•AH，计算即可．

（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC，利用四点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形，求出DH、CH即可解决问题．

【解答】解：（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H．

在RT△ABH中，∵∠AHB=90°，

∴sin∠ABH==，

∴AH=3，BH==4，

∵AB=AD，AH⊥BD，

∴BH=DH=4，

在△ABE 和△ABD中，

，

∴△ABD≌△ABE，

∴BE=BD，∠ABE=∠ABD，

∴BF⊥DE，EF=DF，

∵∠ABH=∠DBF，∠AHB=∠BFD，

∴△ABH∽△DBF，

∴=，

∴DF=，

∴DE=2DF=．

（2）如图2中，作AH⊥BD于H．

∵AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，

∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC，

∵AE∥BD，

∴∠AEB+∠EBD=180°，

∴∠EBD+∠ADC=180°，

∴EB∥AD，

∵AE∥BD，

∴四边形ADBE是平行四边形，

∴BD=AE=AB=5，AH=3，

∴S平行四边形ADBE=BD•AH=15．

（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC．

如图3中，

∵∠ACD=∠AEB（已证），

∴A、C、B、E四点共圆，

∵AE=EC=AB，

∴=，

∴=，

∴∠AEC=∠ABC，

∴AE∥BD，

由（2）可知四边形ADBE是平行四边形，

∴AE=BD=AB=5，

∵AH=3，BH=4，

∴DH=BD﹣BH=1，

∵AC=AD，AH⊥CD，

∴CH=HD=1，

∴BC=BD﹣CD=3．

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