2014高二春期期中理科试题答案

一：选择题 AAACD DCDAD CB

二：13. 2 14. 2π

15. []2,1- 16. 41

三：17．解：（1），x

x x x x f 2

11)(-=-='

所以)(x f 在)1,0(上单调递增，在∞+.1(）上单调递减 。。。。（5分）

（2），由（1）)(x f 在)1,1

(e

上单调递增，在e .1(上单调递减 )(x f 最大值为2

1)1(-=f 。。。。。。。。（7分） 0214)()1(2

24>--=-e e e e f e f 。。。。。。。。。。（8分） )(x f 最小值为22

11)(e e f -= 。。。。。。。。。。（10分） 18.解：)234(234)(2

23++=++='ax x x x ax x x f

因)(x f 仅在0=x 处有极值，等价于02342≥++ax x

对R x ∈恒成立， 。。。。。。。。。（6分） 即0329244)3(22≤-=⋅⋅-a a 得3

24324≤≤-a 此时，0)(),,0(;0)(),0.(>'+∞∈<'-∞∈x f x x f x )(x f 仅在0=x 处有极小值，所求a 的范围是⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-324,324。。（12分） 19.解：分别将2,1=n 代人，得

1,61)

2(105)1(31==∴⎩⎨⎧+=+=b a b a b a 。。。。。。（2分） 下面用数学归纳法证明

（1） 当1=n 时，由上可知等式成立 。。。。。。（3分）

（2）假设k n =时结论成立，即6

)12)(1(3212222++=

++++k k k k , 那么1+=k n 时=++++++22222)1(321k k )16

2)(1()1(6)12)(1(22++++=++++=k k k k k k k k 6

)1)1(2)(1)1)((1(6)32)(2)(1(+++++=+++=

k k k k k k ， 这就是说，1+=k n 时，结论也成立 。。。。。。。（11分）

由（1）（2）可知，存在常数1,6

1==b a 对任意的*∈N n ，都有6)12)(1(3212222++=++++n n n n 。。。。。（12分） 20.解：（1）x x f 2)('

= 1l ∴为)(22t x t t y -=- 。。。。。。。（1分）

即22t tx y -=，它与x 轴交于)0,2(t ，与2l 交于（2，)42t t -，

则)(t g =)4)(22(2122

02

t t t x ---⎰t t t x 424|3123203-+-= 3

842423+-+-=t t t ，))2,0((∈t 。。。。。。。（6分） （2）)34)(4(434443)(2'

---=-+-=t t t t t g ， 由)20(0)('<<>t t g 得)2,34(∈t ，)(x g ∴在)2,34(上增，

由)20(0)('<<,0(∈t ，)(x g ∴在)3

4,0(上减， .27

8)34()(min ==∴g x g 。。。。。。。。（12分） 21. 解：(1) b ax x x f ++='23)(2，依题意023)1(=++='b a f

101)1(2

=+++=a b a f 解得⎩⎨⎧-==114b a 或⎩⎨⎧=-=33b a 经检验当⎩⎨⎧=-=33b a 时无极值点，当

⎩⎨⎧-==11

4b a 时函数)(x f 在1=x 处有极小值，故

11-=b ， 。

。。。。。。。。。（4分） 2）023)(2≥++='b ax x x f 对),1[+∞-∈∀a ，当)2,0(∈x 恒成立

记b x a x b ax x a h ++=++=223)2(23)(，

所以023)1()(2min ≥+-=-=b x x h a h

又设b x x x H +-=23)(2，

当)2,0(∈x 时03

1)31

()(min ≥+-==b H x H 31≥b ，所以b 的最小值为3

1. 。。。。。。。。（8分） （3）：当1=a 时，1)(23+++=bx x x x f ，设切点为),(00y x P ，则切线斜率为

2)(23)(000200+=

++='x x f b x x x f 得01247202030=-+++b x x x 记=)(0x F 1247202030-+++b x x x ，过点)0,2(-能作)(x f 三条切线等价于)(0x F 有三个

零点

)2)(13(24146)(000200++=++='x x x x x F

令⎪⎩⎪⎨⎧<->-0)31(0)2(F F 即⎪⎩

⎪⎨⎧<->+027442032b b 得)2722,23(-∈b 。。。。。。（12分） 22. 解：（1）22'

)1(1)22()(++-+=x x x a x x f ，因为)(x f 在),0(+∞上为单调增函数，所以0)('≥x f 在),0(+∞上恒成立，即01)22(2≥+-+x a x 在),0(+∞上恒成立，它等价于x

x a 122+≤-在),0(+∞上恒成立，因为 ),0(+∞∈x 时，2)1(min =+x

x ，,222≤-∴a 即,2≤a ∴a 的取值范围为(]2,∞-. 。。。。。。。。。。（6分）

（2）不妨设n m >，原不等式等价于,21ln 1+<-n m n m n m 即1)1(2ln +->n

m n m n m ， 即01)1(2ln >+--n

m n m n m ， 令,1

)1(2ln )(+--=x x x x h 这个函数即为2=a 时的函数)(x f ，由（1）知它在),1(+∞上是单调增函数，又1>n m ，0)1()(=>∴h n

m h ， 01)1(2ln >+--∴n

m n m n m ，∴.2ln ln n m n m n m +<-- 。。。。。（12分）下载本文