数　　学

(满分：150分　考试时间：120分钟)

2022．3

一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集U＝{－3，－2，－1，1，2，3}，集合A＝{－1，1}，B＝{1，2，3}，则(∁UA)∩B＝(　　)

A. {1}    B. {1，2}    C. {2，3}    D. {1，2，3}

2. 已知复数z满足z(1＋2i)＝i(1＋z)，则z＝(　　)

A. ＋i    B. －i    C. 1＋i    D. 1－i

3. 已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为(　　)

A. 30°    B. 60°    C. 120°    D. 150°

4. 时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin (t－)，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(参考数据：sin ≈0.8)(　　)

A. 1.4 h    B. 2.4 h    C. 3.2 h    D. 5.6 h

5. 设(1＋3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a5＝a6，则n＝(　　)

A. 6    B. 7    C. 10    D. 11

6. 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“Sn＋S3n＞2S2n”的(　　)

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

7. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(9，6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则AQ＝(　　)

A. 4    B. 2    C.     D. 

8. 已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1)f(x).若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝(　　)

A. －3    B. －2    C. 2    D. 3

二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x0，若在这组数据中添加一个数据x0，得到一组新数据x0，x1，x2，…，xn，则(　　)

A. 这两组数据的平均数相同    B. 这两组数据的中位数相同

C. 这两组数据的标准差相同    D. 这两组数据的极差相同

10. 若a＞b＞0＞c，则(　　)

A. ＞    B. ＞

C. ac＞bc    D. a－c＞2

11. 在正六棱锥PABCDEF中，已知底面边长为1，侧棱长为2，则下列说法正确的是(　　)

A. AB⊥PD

B. 共有4条棱所在的直线与AB是异面直线

C. 该正六棱锥的内切球的半径为

D. 该正六棱锥的外接球的表面积为

12. 已知直线y＝a与曲线y＝相交于A，B两点，与曲线y＝相交于B，C两点，若点A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则(　　)

A. x2＝aex2    B. x2＝ln x1    C. x3＝ex2    D. x1x3＝x

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若tan θ＝3sin 2θ，θ为锐角，则cos 2θ＝________．

14. 设函数f(x)＝若f(f(a))＝4，则a＝________．

15. 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)是双曲线右支上的两点，x1＋y1＝x2＋y2＝3.记△PQF1，△PQF2的周长分别为C1，C2，若C1－C2＝8，则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为________．

16. 某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，则这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为________，体积为________cm3.(第一空2分，第二空3分)

四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝2sin B.

(1) 若b＝2，c＝2，求角C的大小；

(2) 若点D在边AB上，且AD＝c，求证：CD平分∠ACB.

18.(本小题满分12分)

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为2，∠A1AC＝60°，A1B＝.

(1) 求证：平面A1ACC1⊥平面ABC；

(2) 求二面角BA1B1C1的正弦值．

19. (本小题满分12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋Sn＝－.

(1) 从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列{an}的通项公式；

① 数列{2nan}是等差数列；

② 数列是等比数列；

(注：如果选择多个方案进行解答，按第一个方案解答计分．)

(2) 记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

20.(本小题满分12分)

某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰．比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果．在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互．

(1) 求甲恰好经过三局进入复赛的概率；

(2) 记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望．

21. (本小题满分12分)

已知曲线C由C1：＋＝1(a＞b＞0，x≥0)和C2：x2＋y2＝b2(x＜0)两部分组成，C1所在椭圆的离心率为，上、下顶点分别为B1，B2，右焦点为F，C2与x轴相交于点D，四边形B1FB2D的面积为＋1.

(1) 求a，b的值；

(2) 若直线l与C1相交于A，B两点，AB＝2，点P在C2上，求△PAB面积的最大值．

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝|ex－|－a ln x.

(1) 当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2) 若f(x)＞a，求实数a的取值范围．

2022届高三年级模拟试卷(南通等七市联考)

数学参及评分标准

1. C　2. A　3. B　4. B　5. B　6. C　7. A　8. D　9. AD　10. ABD　11. BCD　12. ACD

13. －　14. ln 2　15. 　16. 8　18

17. (1) 解：在△ABC中，由正弦定理，得＝，

因为sin A＝2sin B，所以a＝2b.(2分)

又b＝2，所以a＝4.

在△ABC中，由余弦定理，得cos C＝＝＝－.(4分)

因为C∈(0，π)，所以C＝.(5分)

(2) 证明：(证法1)在△ACD中，由正弦定理，得＝，

即＝　①.

在△BCD中，同理可得＝　②.(7分)

因为∠ADC＋∠BDC＝π，所以sin ∠ADC＝sin ∠BDC.

又a＝2b，由①②，得sin ∠ACD＝sin ∠BCD.(9分)

因为0＜∠ACD＋∠BCD＜π，

所以∠ACD＝∠BCD，即CD平分∠ACB.(10分)

(证法2)设△ACD，△BCD的面积分别为S1，S2，

因为AD＝c，所以S2＝2S1.(7分)

又S1＝b×CD×sin ∠ACD，S2＝a×CD×sin ∠BCD，

故a×CD×sin ∠BCD＝2×b×CD×sin ∠ACD，

所以sin ∠BCD＝sin ∠ACD.(9分)

因为0＜∠BCD＋∠ACD＜π，所以∠BCD＝∠ACD，即CD平分∠ACB.(10分)

18. (1) 证明：取AC的中点O，连接OA1，OB，A1C.

因为AA1＝AC＝2，∠A1AC＝60°，

所以△A1AC为正三角形，所以A1O⊥AC，且A1O＝.(2分)

在正三角形ABC中，

同理可得，BO⊥AC，且BO＝.

所以∠A1OB为二面角A1ACB的平面角．(4分)

又因为A1B＝，所以A1O2＋OB2＝A1B2，所以∠A1OB＝90°，

所以平面A1ACC1⊥平面ABC.(6分)

(2) 解：由(1)知，OA1⊥OB，OA1⊥OC，OC⊥OB.

以{OB，OC，OA1}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

则O(0，0，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，A(0，－1，0).

在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝＝(，1，0)，A1B＝(，0，－).

设平面BA1B1的法向量m＝(x，y，z)，

则令x＝1，得y＝－，z＝1，

所以平面BA1B1的一个法向量m＝(1，－，1).(8分)

又平面A1B1C1的一个法向量n＝(0，0，1)，(9分)

且cos 〈m，n〉＝＝＝.(10分)

设二面角BA1B1C1的大小为α，根据图形可知α为钝角，

所以sin α＝＝＝，

所以二面角BA1B1C1的正弦值为.(12分)

19．解：(1) 若选①：因为an＋Sn＝－，所以an＋1＋Sn＋1＝－，

所以(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝－－(－)，即2an＋1－an＝，(2分)

所以2n＋1an＋1－2nan＝1.

又当n＝1时，a1＋S1＝－，得a1＝－，2a1＝－1，

所以数列{2nan}是以－1为首项，1为公差的等差数列．(4分)

所以2nan＝－1＋(n－1)×1＝n－2，所以an＝.(6分)

若选②：因为an＋Sn＝－，所以an＋1＋Sn＋1＝－，

所以(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝－－(－)，即2an＋1－an＝，(2分)

所以an＋1＝an＋，所以an＋1－＝(an－).

又当n＝1时，a1＋S1＝－，得a1＝－，所以a1－＝－1，所以＝.

所以数列是以－1为首项，为公比的等比数列．(4分)

所以an－＝(－1)×()n－1＝－，所以an＝.(6分)

(2) (解法1)由(1)知Sn＝－－an＝－－＝－.(7分)

因为bn＝＝＝－.(10分)

所以数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝－2.(12分)

(解法2)由(1)知Sn＝－－an＝－－＝－，(7分)

所以bn＝＝＝＝＝－.(10分)

所以数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－2)＋(－)＋…＋(－)＝－2.(12分)

20. 解：(1) 记“甲恰好经过三局进入复赛”为事件A，

则在甲与乙的比赛中，第一、二局为和棋，第三局甲胜，

所以P(A)＝××＝.(3分)

答：甲恰好经过三局进入复赛的概率为.(4分)

(2) 随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.(6分)

则P(X＝1)＝1－＝，P(X＝2)＝×(1－)＝，

P(X＝3)＝××(1－)＝，P(X＝4)＝××＝.(10分)

所以X的概率分布列为

21. 解：(1) 如图，因为C2：x2＋y2＝b2(x＜0)与x轴相交于点D，所以D(－b，0).

设C1所在椭圆的右焦点为F(c，0)，所以c＝.

因为C1所在椭圆的离心率e＝，所以＝.

所以a＝2b，c＝b.(1分)

所以B1B2＝2b，FD＝b＋c.

所以四边形B1FB2D的面积S＝·B1B2·FD＝×2b(b＋c).(2分)

因为四边形B1FB2D的面积为＋1，所以b2＋bc＝＋1，

即(＋1)b2＝＋1，解得b＝1，所以a＝2，b＝1.(4分)

(2) 由(1)得曲线C1：＋y2＝1(x≥0).

当直线l斜率不存在时，

不妨设A(0，1)，B(0，－1)，此时△PAB的面积S≤1，

当且仅当P(－1，0)时等号成立．(5分)

当直线l斜率存在时，由C1的对称性，不妨设l的方程为y＝kx＋m(k≥0)，

由消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≥0，x2≥0，

所以(6分)

所以m≤－1.

所以AB＝|x1－x2|＝＝＝.(7分)

又AB＝2，所以＝2，整理，得m2＝.(8分)

因为m≤－1，所以k2≥，m＝－·.

作斜率为k的直线l′与半圆C2相切，切点为P，此时△PAB的面积最大，

设直线l′的方程为y＝kx＋n(n＞0)，

因为＝1，所以n＝.(9分)

因为直线l′与直线AB距离d＝＝＝1＋·，

设t＝≥，则d＝1＋＝1＋≤1＋＝2.(11分)

所以△PAB面积的最大值为AB·dmax＝2，当且仅当t＝时等号成立，

此时直线AB的方程为y＝x－，点P(－，).

综上，△PAB的面积的最大值为2.(12分)

22. 解：(1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－1时，f(x)＝ex＋＋ln x，f′(x)＝ex－＋.(2分)

所以f(1)＝e＋1，f′(1)＝e.

所以所求的切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，即ex－y＋1＝0.(4分)

(2) 当a≤0时，f(x)＝ex－－a ln x＝ex－a(＋ln x).

设h(x)＝＋ln x，则h′(x)＝.

令h′(x)＜0，得0＜x＜1，所以h(x)在(0，1)上是减函数；令h′(x)＞0，得x＞1，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以h(x)min＝h(1)＝1，h(x)≥1.

因为ex＞0，a≤0，所以f(x)＝ex－a(＋ln x)＞0，所以f(x)＞a，

所以a≤0符合题意．(7分)

当a＞0时，函数f(x)＝|ex－|－a ln x＝||－a ln x.

设g(x)＝xex－a(x≥0)，则g′(x)＝(x＋1)ex＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数．

因为g(0)＝－a＜0，g(a)＝a(ea－1)＞0，且函数g(x)在[0，＋∞)上的图象是不间断的，所以存在x0∈(0，a)，使得g(x0)＝x0ex0－a＝0，所以a＝x0ex0，

所以f(x)＝(9分)

① 当0＜x≤x0时，f(x)＝－ex－a ln x，所以f′(x)＝－－ex－＜0，

所以f(x)在(0，x0]上是减函数．

② 当x＞x0时，ex－＞0，所以f′(x)＝ex＋－＝(ex－)＋＞0，

所以f(x)在(x0，＋∞)上是增函数．

由①②，得f(x)min＝f(x0)＝－a ln x0，又f(x)＞a，所以－a ln x0＞a，

解得x0＜，所以0＜a＝x0ex0＜×e＝e－1.

综上，实数a的取值范围是(－∞，e－1).(12分)下载本文