托勒密定理：圆内接四边形两条对角线乘积等于对边乘积之和．
逆定理：一个凸四边形的两组对边乘积的和等于其对角线的乘积，那么该四边形内接于一个圆（或者说该四边形的四个顶点共圆）
广义定理：对于一般的四边形ABCD，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD，当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．
【例1】（1）证明托勒密定理及其逆定理．
①四边形ABCD内接于圆，求证：AC·BD=AD·BC+AB·CD
②四边形ABCD满足，AC·BD=AD·BC+AB·CD，求证：四边形ABCD是圆内接四边形．
（2）如图，已知P为正△ABC外接圆上一点.
求证：PA=PB+PC．
（3）等腰梯形一条对角线的平方，等于一腰的平方加上两底之积．已知梯形ABCD，AD=BC，AB∥CD．
求证：BD2=BC2+AB·CD．
【例2】（1）在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1:2:4．
求证：.
（2）如图，已知圆的内接正五边形ABCDE，P为上的一点，则PA+PD+PB=PE+PC．
（3）若a、b、x、y是正实数，且a2+b2=1，x2+y2=1.
求证：ab+by≤1.
【例3】（1）凸四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=90°，AB=2，CD=1，对角线AC、BD交于点O，如图，求sin∠AOB．
（2）由△ABC外接圆的弧BC上一点分别向边BC、AC与AB作垂线PK、PL、PM．
求证：．下载本文
