一、选择题：
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的有（ ）
A．x（2x﹣1）=2x2 ．﹣2x=1 ．ax2+bx+c=0 ． x2=0
2．方程x2=x的解是（ ）
A．x=1 ．x=0 ．x1=﹣1，x2=0 ．x1=1，x2=0
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2=6 ．（x﹣1）2=6 ．（x+2）2=9 ．（x﹣2）2=9
4．设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2012 ．2013 ．2014 ．2015
5．为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单循环比赛（即每两个队比赛一场）共进行了45场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（ ）
A．8 ．9 ．10 ．11
6．等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10=0的两根，则它的周长为（ ）
A．12 ．12或9 ．9 ．7
7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2=1000 ．200+200×2x=1000
C．200+200×3x=1000 ．200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000
8．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400=0 ．x2+65x﹣350=0
C．x2﹣130x﹣1400=0 ．x2﹣65x﹣350=0
9．已知a，b是方程x2﹣6x+4=0的两实数根，且a≠b，则+的值是（ ）
A．7 ．﹣7 ．11 ．﹣11
10．方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（ ）
A．m＞ ．m≤且m≠2 ．m≥3 ．m≤3且m≠2
二、填空题：
11．把方程（2x+1）（x﹣2）=5﹣3x整理成一般形式后，得 ．
12．如果最简二次根式与能合并，那么a= ．
13．若方程x2﹣3x﹣3=0的两根为x1，x2，则x12+3x2═ ．
14．某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价降低了19%，则平均每月降价的百分率是 ．
15．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 ．
16．一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过 分钟，容器中的水恰好放完．
17．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015= ．
18．已知a是方程x2﹣2015x+1=0的一个根，则代数式a2﹣2014a+= ．
三、解答题：（共66分）
19．（6分）化简求值：，其中x=﹣．
20．（8分）选择适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣3x﹣1=0；
（2）x2﹣2x﹣3=0．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
22．（7分）解方程组：．
23．（7分）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．
24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
25．（7分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
26．（8分）如图所示，点E、F分别为正方形ABCD边AB、BC的中点，DF、CE交于点M，CE的延长线交DA的延长线于G，试探索：
（1）DF与CE的位置关系；（2）MA与DG的大小关系．
27．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
参与试题解析
一、选择题：
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的有（ ）
A．x（2x﹣1）=2x2 ．﹣2x=1 ．ax2+bx+c=0 ． x2=0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
【解答】解：A、是一元一次方程，故A错误；
B、是分式方程，故B错误；
C、a=0时是一元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．方程x2=x的解是（ ）
A．x=1 ．x=0 ．x1=﹣1，x2=0 ．x1=1，x2=0
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】利用提公因式法解方程即可．
【解答】解：x2=x，
移项得x2﹣x=0，
提公因式得x（x﹣1）=0，
解得x1=1，x2=0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程．解题的关键是因式分解的应用．
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2=6 ．（x﹣1）2=6 ．（x+2）2=9 ．（x﹣2）2=9
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，
配方得：x2﹣2x+1=6，
即（x﹣1）2=6．
故选：B
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2012 ．2013 ．2014 ．2015
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，
∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，
∴a2+2a+b=a+b+2015，
∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根
∴a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．
故选C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．
5．为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单循环比赛（即每两个队比赛一场）共进行了45场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（ ）
A．8 ．9 ．10 ．11
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（2014•鹤庆县校级模拟）等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10=0的两根，则它的周长为（ ）
A．12 ．12或9 ．9 ．7
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解，即可确定三角形周长．
【解答】解：方程分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）=0，
解得：x=2或x=5，
当2为腰时，三边长分别为：2，2，5，不能构成三角形，舍去；
当2为底时，三边长为5，5，2，周长为5+5+2=12．
故选A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2=1000 ．200+200×2x=1000
C．200+200×3x=1000 ．200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．
故选：D．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
8．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400=0 ．x2+65x﹣350=0
C．x2﹣130x﹣1400=0 ．x2﹣65x﹣350=0
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．
【解答】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
即4000+260x+4x2=5400，
化简为：4x2+260x﹣1400=0，
即x2+65x﹣350=0．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．
9．已知a，b是方程x2﹣6x+4=0的两实数根，且a≠b，则+的值是（ ）
A．7 ．﹣7 ．11 ．﹣11
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得出a+b=6，ab=4，变形后代入求出即可．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣6x+4=0的两实数根，且a≠b，
∴a+b=6，ab=4，
∴+
=
=
=
=7，
故选A．
【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能熟记根与系数的关系定理是解此题的关键．
10．方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（ ）
A．m＞ ．m≤且m≠2 ．m≥3 ．m≤3且m≠2
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，然后解不等式组即可．
【解答】解：根据题意得，
解得m≤且m≠2．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
二、填空题：
11．把方程（2x+1）（x﹣2）=5﹣3x整理成一般形式后，得 2x2﹣7=0 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】通过去括号，移项、合并同类项可以把方程（2x+1）（x﹣2）=5﹣3x整理成一般形式．
【解答】解：去括号，得
2x2+x﹣4x﹣2=5﹣3x，
移项、合并同类项，得
2x2﹣7=0．
故答案是：2x2﹣7=0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
12．如果最简二次根式与能合并，那么a= ﹣5或3 ．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：最简二次根式与能合并，得
a2+3a=a+15，
解得a=﹣5或a=3．
故答案为：﹣5或3．
【点评】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式的被开方数相同得出方程是解题关键．
13．若方程x2﹣3x﹣3=0的两根为x1，x2，则x12+3x2═ 12 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系可找出x1+x2=3、x1•x2=﹣3，将x12+3x2═变形为只含x1+x2、x1•x2的算式，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣3=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=3，x1•x2=﹣3，
∴x12+3x2═x12+（x1+x2）•x2═x12+x1•x2+x22═﹣x1•x2=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2=3、x1•x2=﹣3是解题的关键．
14．某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价降低了19%，则平均每月降价的百分率是 10% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设平均每月的降价率为x，设手机的原来价格为1，根据手机现在的价格为等量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设平均每月的降价率为x，设手机的原来价格为1，由题意，得
（1﹣x）2=（1﹣19%），
解得：x1=1.9（不符合题意，舍去），x2=0.1．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了增长率问题在实际问题中的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据手机降价后的价格为等量关系建立方程是关键．
15．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 m＞ ．
【考点】根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式．
【分析】设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，
由已知得：，即
解得：m＞．
故答案为：m＞．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一元一次不等式组是关键．
16．一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过 8 分钟，容器中的水恰好放完．
【考点】函数的图象；一次函数的应用．
【分析】由0﹣4分钟的函数图象可知进水管的速度，根据4﹣12分钟的函数图象求出水管的速度，再求关停进水管后，出水经过的时间．
【解答】解：进水管的速度为：20÷4=5（升/分），
出水管的速度为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）=3.75（升/分），
∴关停进水管后，出水经过的时间为：30÷3.75=8分钟．
故答案为：8．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
17．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015= 2026 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．
【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，
所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，
又n2=n+3，
则2n2﹣mn+2m+2015
=2（n+3）﹣mn+2m+2015
=2n+6﹣mn+2m+2015
=2（m+n）﹣mn+2021
=2×1﹣（﹣3）+2021
=2+3+2021
=2026．
故答案为：2026．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．
18．已知a是方程x2﹣2015x+1=0的一个根，则代数式a2﹣2014a+= 2014 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=a代入方程a2﹣2015a+1=0求出a2﹣2014a=a﹣1，+=a+=2015，再代入代数式a2﹣2014a+求出答案即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2015x+1=0的一个根，
∴a2﹣2015a+1=0，
∴a2+1=2015a，a2﹣2014a=a﹣1，a+=2015，
∴a2﹣2014a+=a﹣1+=2015﹣1=2014．
故答案为：2014．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，运用适当的变形，渗透整体代入的思想解决问题．
三、解答题：（共66分）
19．化简求值：，其中x=﹣．
【考点】分式的化简求值．
【分析】主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的顺序，正确解题．
【解答】解：原式==
=﹣（x+2）（x﹣1）=﹣x2﹣x+2，
当x=时，
原式==﹣2++2=．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值这一知识点，要求把式子化到最简，然后代值．
20．选择适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣3x﹣1=0；
（2）x2﹣2x﹣3=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）公式法求解可得；
（2）因式分解法求解即可得．
【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，
∵△=b2﹣4ac=9+4=13＞0，
∴x=；
（2）分解因式得：（x﹣3）（x+1）=0，
可得x﹣3=0或x+1=0，
解得：x1=3，x2=﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．
【分析】把x=﹣1代入已知方程列出关于m的新方程，通过解该方程来求m的值；然后结合根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为x2，则
﹣1+x2=﹣1，
解得x2=0．
把x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得
（﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m=0，即m（m﹣2）=0，
解得m1=0，m2=2．
综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
22．解方程组：．
【考点】高次方程．
【分析】根据解方程组的方法可以解答此方程．
【解答】解：由得
将①代入②，得
4﹣2y2=0
解得，y=，
将y=代入①，得
x=2+，
将x=﹣代入②，得
x=2﹣，
故原方程组的解是或．
【点评】本题考查解高次方程，解题的关键是明确解方程组的方法．
23．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】本题可设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出小路的宽．
【解答】解：设小路的宽为xm，依题意有
（40﹣x）（32﹣x）=1140，
整理，得x2﹣72x+140=0．
解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应是2m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式．另外求出4块种植地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，
∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
∴m≥﹣；
（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，
∵x12+x22=31+|x1x2|，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，
即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，
解得m=2，m=﹣14（舍去），
∴m=2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
25．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 100+200x 斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．
【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x（斤）；
（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，
解得：x=或x=1，
当x=时，销售量是100+200×=200＜260；
当x=1时，销售量是100+200=300（斤）．
∵每天至少售出260斤，
∴x=1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．
26．如图所示，点E、F分别为正方形ABCD边AB、BC的中点，DF、CE交于点M，CE的延长线交DA的延长线于G，试探索：
（1）DF与CE的位置关系；（2）MA与DG的大小关系．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）由题中条件不难得出△EBC≌△FCD，在通过角之间的转化，可得出DF与CE的位置关系．
（2）△GDM为直角三角形，由△GAE≌△CBE，可得GA=CB，进而可求出MA与DG的大小关系．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠B=∠DCF=90°．
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EB=FC．
∴△EBC≌△FCD（SAS）．
∴∠ECB=∠FDC（全等三角形的对应角相等）．
∵∠FDC+∠DFC=90°，
∴∠ECB+∠DFC=90°．
∴∠CMF=90°（三角形内角和定理）．
∴DF⊥CE（垂直定义）．
（2）在△AEG和△BEC中，
∵∠GAE=∠B=90°，AE=BE，∠GEA=∠CEB，
∴△GAE≌△CBE（ASA）．
∴GA=CB（全等三角形的对应边相等）．
∵正方形ABCD中，CB=AD，
∴GA=AD．
∵DF⊥CG，∴MA=DG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
【点评】掌握正方形的性质，能够运用其性质求解一些简单的计算问题．
27．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；
（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；
（3）分两种情况讨论即可求解．
【解答】（1）证明：∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=CD=2t，
∴DF=AE；
解：（2）∵DF∥AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时，▱AEFD是菱形；
（3）当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；
当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：
当∠EDF=90°时，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t+4t=60，
∴t=时，∠EDF=90°．
当∠DEF=90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=AE，
AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF=CD=2t，
∴60﹣4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用t表示DF、AD的长是关键．
