一、选择题
1．过抛物线焦点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，若 ， 在抛物线准线上的射影分别是 ， ，则 为（ ）．
A．45° B．60° C．90° D．120°
2．过已知点 且与抛物线 只有一个公共点的直线有（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．已知 ， 是抛物线 上两点， 为坐标原点，若 ，且 的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线 的方程是（ ）．
A． B． C． D．
4．若抛物线 （ ）的弦PQ中点为 （ ），则弦 的斜率为（）
A． B． C． D．
5．已知 是抛物线 的焦点弦，其坐标 ， 满足 ，则直线 的斜率是（）
A． B． C． D．
6．已知抛物线 （ ）的焦点弦 的两端点坐标分别为 ， ，则 的值一定等于（ ）
A．4 B．－4 C． D．
7．已知⊙ 的圆心在抛物线 上，且⊙ 与 轴及 的准线相切，则⊙ 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．当 时，关于 的方程 的实根的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．将直线 左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线 仅有一个公共点，则实数 的值等于（ ）
A．－1 B．1 C．7 D．9
10．以抛物线 （ ）的焦半径 为直径的圆与 轴位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
11．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，如果 ，那么 长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
12．过抛物线 （ ）的焦点且垂直于 轴的弦为 ， 为抛物线顶点，则 大小（ ）
A．小于 B．等于 C．大于 D．不能确定
13．抛物线 关于直线 对称的曲线的顶点坐标是（ ）
A．（0，0） B．（－2，－2） C．（2，2） D．（2，0）
14．已知抛物线 （ ）上有一点 ，它到焦点 的距离为5，则 的面积（ 为原点）为（ ）
A．1 B． C．2 D．
15．记定点 与抛物线 上的点 之间的距离为 ， 到此抛物线准线 的距离为 ，则当 取最小值时 点的坐标为（ ）
A．（0，0） B． C．（2，2） D．
16．方程 表示（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
17．在 上有一点 ，它到 的距离与它到焦点的距离之和最小，则 的坐标为（）
A．（－2，8） B．（2，8） C．（－2，－8） D．（－2，8）
18．设 为 过焦点的弦，则以 为直径的圆与准线交点的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
19．设 ， 为抛物线 上两点，则 是 过焦点的（）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要
20．抛物线垂点为（1，1），准线为 ，则顶点为（）
A． B． C． D．
21．与 关于 对称的抛物线是（）
A． B． C． D．
二、填空题
1.顶点在原点，焦点在 轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．
2.抛物线顶点在原点，焦点在 轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．
3．过点（0，－4）且与直线 相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．
4．抛物线 被点 所平分的弦的直线方程为_________．
5．已知抛物线 的弦 过定点（－2，0），则弦 中点的轨迹方程是________．
6．顶点在原点、焦点在 轴上、截直线 所得弦长为 的抛物线方程为____________．
7．已知直线 与抛物线 交于 、 两点，那么线段 的中点坐标是__ _．
8．一条直线 经过抛物线 （ ）的焦点 与抛物线交于 、 两点，过 、 点分别向准线引垂线 、 ，垂足为 、 ，如果 ， ， 为 的中点，则 =__________．
9． 是抛物线的一条焦点弦，若抛物线 ， ，则 的中点 到直线 的距离为_________．
10．抛物线 上到直线 的距离最近的点的坐标是____________．
11．抛物线 上到直线 距离最短的点的坐标为__________．
12．已知圆 与抛物线 （ ）的准线相切，则 =________．
13．过 （ ）的焦点 的弦为 ， 为坐标原点，则 =________．
14．抛物线 上一点 到焦点的距离为3，则点 的纵坐标为__________．
15．已知抛物线 （ ），它的顶点在直线 上，则 的值为__________．
16．过抛物线 的焦点作一条倾斜角为 的弦，若弦长不超过8，则 的范围是________．
17．已知抛物线 与椭圆 有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．
18．抛物线 的焦点为 ，准线 交 轴于 ，过抛物线上一点 作 于 ，则梯形 的面积为_______________．
19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点 处，如果 到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．
三、解答题
1．知抛物线 截直线 所得的弦长 ，试在 轴上求一点 ，使 的面积为39
2．若 的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程
3．已知 是以原点 为直角顶点的抛物线 （ ）的内接直角三角形，求 面积的最小值．
4．若 ， 为抛物线 的焦点， 为抛物线上任意一点，求 的最小值及取得最小值时的 的坐标．
5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．
6．抛物线以 轴为准线，且过点 ，（ ）求证不论点 的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．
7．已知抛物线 （ ）的焦点为 ，以 为圆心， 为半径，在 轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点 、 ， 为线段 的中点．①求 的值；②是否存在这样的 ，使 、 、 成等差数列，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
8．求抛物线 和圆 上最近两点之间的距离．
9．正方形 中，一条边 在直线 上，另外两顶点 、 在抛物线 上，求正方形的面积．
10．已知抛物线 的一条过焦点的弦被焦点分为 ， 两个部分，求证 ．
11．一抛物线型拱桥的跨度为 ，顶点距水面 ．江中一竹排装有宽 、高 的货箱，问能否安全通过．
12．已知抛物线 上两点 ， （ 在第二象限）， 为原点，且 ，求当 点距 轴最近时， 的面积 ．
13． 是抛物线 上的动点，连接原点 与 ，以 为边作正方形 ，求动点 的轨迹方程．
参：
一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C
10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D
二、1．；2．；3．；4．
5．；6． （在已知抛物线内的部分）
7． 或；8．（4，2）；9．
10．；11．；12．2；13．－4
14．2；15．0， ， ，；16．
17．；18．3．14；19．36.2cm
三、1．先求得 ，再求得 或
2．
3．设 ， ，则由 得 ，
， ，于是
当 ，即 ， 时，
4．抛物线 的准线方程为 ，过 作 垂直准线于 点，由抛物线定义得 ， ，要使 最小， 、 、 三点必共线，即 垂直于准线， 与抛物线交点为 点，从而 的最小值为 ，此时 点坐标为（2，2）．
5．建立坐标系，设抛物线方程为 ，则点（26，－6.5）在抛物线上， 抛物线方程为 ，当 时， ，则有 ，所以木箱能安全通过．
6．设抛物线的焦点为 ，由抛物线定义得 ，设顶点为 ，则 ，所以 ，即 为椭圆，离心率 为定值．
7．①设 、 、 在抛物线的准线上射影分别为 、 、 ，则由抛物线定义得，
又圆的方程为 ，将 代入得
②假设存在这样的 ，使得
，由定义知点 必在抛物线上，这与点 是弦 的中点矛盾，所以这样的 不存在
8．设 、 分别是抛物线和圆上的点，圆心 ，半径为1，若 最小，则
也最小，因此 、 、 共线，问题转化为在抛物线上求一点 ，使它到点 的距离最小.为此设 ，则 ， 的最小值是
9．设 所在直线方程为 ， 消去 得
又直线 与 间距离为
或
从而边长为 或 ，面积 ，
10．焦点为 ，设焦点弦 端点 ， ，当 垂直于 轴，则 ，结论显然成立；当 与 轴不垂直时，设 所在直线方程为 ，代入抛物线方程整理得 ，这时 ，于是 ，命题也成立．
11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为 轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为 ，则 ，所以 ，抛物线方程为 ．当 时， ，而 ，故可安全通过．
12．设 ，则 ，因为 ，所以 ，直线 的方程为 ，将 代入，得点 的横坐标为 （当且仅当 时取等号），此时 ， ， ， ，所以 ．
13．设 ， ，过 ， 分别作为 轴的垂线，垂足分别为 ， ，而证得 ≌ ，则有 ， ，即 、 ，而 ，因此 ，即 为所求轨迹方程．
