转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，它与刚体的质量、转轴位置及质量相对转轴的分布情况有关。对于形状简单规则的刚体，测出其尺寸和质量，可用数学方法计算出转动惯量，而对形状复杂的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，一般要通过实验方法来测定。三线扭摆法测转动惯量是一种简单易行的方法。

   【实验目的】

    1．学会使用三线扭摆法测定圆盘和圆环绕其对称轴的转动惯量。

2．学习使用MUJ-5B计时计数测速仪测量周期。

3．研究转动惯量的叠加原理及应用。 

   【实验器材】

    三线扭摆、钢直尺、游标卡尺、水准仪、钢圆环、铝圆环、MUJ-5B计时计数测速仪。

   【实验原理】

三线扭摆装置如图4-3-1a所示。上、下两个圆盘均处于水平，圆盘A的中心悬挂在支架的横梁上，圆盘B由三根等长的弦线悬挂在A盘上。三条弦线的上端和下端分别在A圆盘和B圆盘上各自构成等边三角形，且两个等边三角形的中心与两个圆盘的圆心重合。A盘可绕自身对称轴转动，若将A盘转动一个不大的角度，通过弦线作用将使B盘摆动，B盘一方面绕轴转动，同时又在铅直方向上做升降平动，其摆动周期与B盘的转动惯量大小有关。

设B盘的质量是，当它从平衡位置开始向某一方向转动角度时，上升高度为（如图4-3-1b所示），那么B盘增加的势能为

                              (4-3-1)

这时B圆盘的角速度为，B盘的动能为

                             (4-3-2)

式中是B盘绕自身中心轴的转动惯量。

如果略去摩擦力，则圆盘系统的机械能守恒，即

               常量                        (4-3-3)

设悬线长为，上圆盘悬线到盘心的距离为，下圆盘悬线到盘心的距离为。当下圆盘B转一小角度（）时，圆盘上升高度，从上盘点向下作垂线，与升高前、后的下盘分别交于、，悬线端点移到位置，因而下盘B上升高度为

                    (4-3-4)

因为                  

所以

              (4-3-5)

在悬线较长而B盘的扭转角很小时，有

，    

其中为两圆盘之间的距离。代入式（4-3-5）得

                              (4-3-6)

将式（4-3-6）代入式（4-3-3），两边对微分，可得

即：

                          （4-3-7）

式（4-3-7）是简谐振动的微分方程，其中振动角频率的平方为

振动周期，则下圆盘B的转动惯量为

                         (4-3-8)

实验中测出、、、和，就可根据式（4-3-8）求出圆盘B绕自身对称轴的转动惯量。

若B圆盘上放置另一质量为的待测刚体（刚体的质心要在轴上），使原转轴不变，测出此时的摆动周期，待测刚体和B盘对轴的总转动惯量

                    (4-3-9)

转动惯量具有可叠加性，故待测刚体对轴的总转动惯量为

将式（4-3-8）和式（4-3-9）代入上式得：

                （4-3-10）

【实验内容】

一、测量B盘对于其中心对称轴的转动惯量 

    1．调节三线扭摆的角螺丝使A圆盘面处于水平，再调整三线摆悬线的长度，使B盘水平，并且使A、B两圆盘之间的距离大约为60cm。

2．用米尺测定A、B两圆盘之间的距离，B圆盘的直径，并记下B圆盘的质量。

3．用游标卡尺分别测定A、B圆盘三线悬挂点之间的距离、（1，2，3），并求平均值。

4．用MUJ-5B计时计数测速仪测定B盘的摆动周期。首先让B盘处于静止状态，然后轻轻转动一下A盘，使B盘绕轴做小角度摆动（摆角控制在左右），待B盘做稳定摆动后，调整光电门和MUJ-5B计时计数测速仪，测出它摆动20个周期所对应的总时间。重复三次，算出周期的平均值。

5．将测量数据填入表4-3-1。

    二、测量待测圆环对自身对称轴的转动惯量

    1．将待测钢圆环放在B盘上，并使环心与B盘盘心重合。  

2．测量系统的摆动周期，方法与上述（一、4）相同。

3．用米尺测量待测钢圆环的内、外直径、，并记下钢圆环的质量，将测量数据填入表4-3-2。利用式（4-3-10）算出钢圆环的转动惯量。

4．用相同的方法测量铝圆环，将测量数据填入自拟表格。

【数据处理】

一、测量圆盘B绕对称轴的转动惯量。

表4-3-1   测量圆盘B的转动惯量

由于三线摆的三条弦线的上端和下端分别在A圆盘和B圆盘上各自构成等边三角形，所以，A、B圆盘的悬点到转轴的距离、。

2．应用式（4-3-8）计算B盘的转动惯量。

3．应用公式，计算B盘的转动惯量的理论值。

5．计算相对误差           。

二．测量钢圆环的转动惯量。

1．应用式(4-3-10) 计算钢环的转动惯量。

表4-3-2测量钢环的转动惯量

3. 计算相对误差           。

三．测量铝圆环的转动惯量。

计算铝环的转动惯量及相对误差。

【思考题】

1．公式是根据什么条件导出的？在实验时如何做才能满足这些条件？

2．若在B盘上所加的待测刚体是一个半径较小的柱体，将柱体对自身轴的转动惯量的实验值与理论值比较，发现误差较大。试分析产生误差的主要原因。下载本文