一、选择题（共10小题）.

1．若是最简二次根式，则a的值可能是（　　）

A．﹣2    B．2    C．    D．8

2．下列计算正确的是（　　）

A．+＝    B．2﹣＝2    C．（﹣）2＝2    D．＝3

3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）

A．（x+1）2＝6    B．（x+2）2＝9    C．（x﹣1）2＝6    D．（x﹣2）2＝9

4．方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（　　）

A．x＝0    B．x＝1    C．x1＝0，x2＝2    D．x1＝1，x2＝2

5．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为8平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多（　　）

A．12步    B．24步    C．36步    D．48步

6．病毒无情，人间有爱，某中学广大教师为防疫积极捐款献爱心，如图所示是该校50名教师的捐款情况统计，则他们捐款金额的众数和中位数分别是（　　）

A．200元，100元    B．100元，200元    

C．200元，150元    D．100元，150元

7．有下列判断：

①△ABC中，如果a2+b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形

②△ABC中，如果a2﹣b2＝c2，那么△ABC是直角三角形

③如果△ABC是直角三角形，那么a2+b2＝c2

其中说法正确的是（　　）

A．①②    B．②③    C．①③    D．②

8．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（　　）

A．1    B．1.5    C．2    D．2.5

9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．20    B．24    C．28    D．无法求出

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为CD的中点，射线AE交BC的延长线于点F，P为BC上一点，当∠PAE＝∠DAE时，PF的长为（　　）

A．4    B．5    C．    D．

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

11．若根式有意义，则实数x的取值范围为　    　．

12．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为　           　．

13．我市某中学举办了一次以“我的”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这7名同学成绩的　    　（填”平均数”“众数”或“中位数”）

14．如果一元二次方程x2﹣2x+k＝0没有实数根，则一次函数y＝kx+2不经过第　 　象限．

15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为　                　．

三、解答题(共7大题,满分55分)

16．（1）计算：÷﹣×﹣．

（2）解方程：（x﹣2）（x﹣3）＝6．

17．用无刻度的直尺按要求作图．（请保留作图痕迹，不写作法，标上字母）

（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请你在图中画出∠AOB的平分线OP；

（2）如图2，在8×6的正方形网格中，请以BC为边画一个与△ABC面积相等，且各顶点均在格点上的▱BCMN．

18．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0方程有两实根x1和x2．

（1）求实数k的取值范围；

（2）当x1和x2是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求k的值．

19．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

20．某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．

（1）求该商品平均每月的价格增长率；

（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．

21．某校举行了“文明在我身边”摄影比赛，已知每幅参赛作品成绩记为x分（60≤x≤100）．校方从500幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了不完整的统计图表．

“文明在我身边”摄影比赛成绩统计表

（1）统计表中a＝　   　，b＝　   　；样本成绩的中位数落在分数段 　   　中；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若80分以上（含80分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量有多少？

22．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF

（1）求证：AE＝AF；

（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．

四、解答题（共1小题，满分0分）

23．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点B′恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C′的坐标为　                　．

参

一、选择题(共10小题,每题3分,满分30分)

1．若是最简二次根式，则a的值可能是（　　）

A．﹣2    B．2    C．    D．8

解：∵是最简二次根式，

∴a≥0，且a为整数，中不含开的尽方的因数因式，

故选项中﹣2，，8都不合题意，

∴a的值可能是2．

故选：B．

2．下列计算正确的是（　　）

A．+＝    B．2﹣＝2    C．（﹣）2＝2    D．＝3

解：与不是同类二次根式，不能合并，因此选项A不符合题意；

2﹣＝（2﹣1）＝，因此选项B不符合题意；

（﹣）2＝（）2＝2，因此选项C符合题意；

因为33＝27，所以＝3≠，因此选项D不符合题意；

故选：C．

3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）

A．（x+1）2＝6    B．（x+2）2＝9    C．（x﹣1）2＝6    D．（x﹣2）2＝9

解：由原方程移项，得

x2﹣2x＝5，

方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得

x2﹣2x+1＝6

∴（x﹣1）2＝6．

故选：C．

4．方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（　　）

A．x＝0    B．x＝1    C．x1＝0，x2＝2    D．x1＝1，x2＝2

解：x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0

（x﹣1）（x﹣2）＝0，

x＝1或x＝2，

故选：D．

5．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为8平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多（　　）

A．12步    B．24步    C．36步    D．48步

解：设矩形田地的长为x步（x＞30），则宽为（60﹣x）步，

根据题意得：x（60﹣x）＝8，

整理得：x2﹣60x+8＝0，

解得：x＝36或x＝24（舍去），

∴x﹣（60﹣x）＝12．

故选：A．

6．病毒无情，人间有爱，某中学广大教师为防疫积极捐款献爱心，如图所示是该校50名教师的捐款情况统计，则他们捐款金额的众数和中位数分别是（　　）

A．200元，100元    B．100元，200元    

C．200元，150元    D．100元，150元

解：捐款金额为100元的人数最多，是16人，因此捐款金额的众数是100元，

将这50人的捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是200元，因此捐款金额的中位数是200元，

故选：B．

7．有下列判断：

①△ABC中，如果a2+b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形

②△ABC中，如果a2﹣b2＝c2，那么△ABC是直角三角形

③如果△ABC是直角三角形，那么a2+b2＝c2

其中说法正确的是（　　）

A．①②    B．②③    C．①③    D．②

解：①a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，32+42＝52则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误；

②△ABC中，如果a2﹣b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，说法正确；

③如果△ABC是直角三角形，a＝3，b＝5，c＝4，那么a2+c2＝b2，但是a2+b2≠c2，故原来说法错误．

∴其中说法正确的只有②，

故选：D．

8．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（　　）

A．1    B．1.5    C．2    D．2.5

解：过C点作CG⊥BD于G，

∵CF是∠DCE的平分线，

∴∠FCE＝45°，

∵∠DBC＝45°，

∴CF∥BD，

∴CG等于△PBD的高，

∵BD＝2，

∴CG＝1，

△PBD的面积等于＝1．故选A．

9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．20    B．24    C．28    D．无法求出

解：将阴影部分分割如图所示：

根据直角三角形的三边为6、8、10．

所以阴影部分的面积为2×10+2×2＝24．

故选：B．

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为CD的中点，射线AE交BC的延长线于点F，P为BC上一点，当∠PAE＝∠DAE时，PF的长为（　　）

A．4    B．5    C．    D．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠B＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠F，

又∵∠PAE＝∠DAE，

∴∠PAE＝∠F，

∴PA＝PF，

∵E为CD的中点，

∴DE＝CE，

在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE

∴CF＝AD＝4，

设CP＝x，PA＝PF＝x+4，BP＝4﹣x，

在直角△ABP中，

22+（4﹣x）2＝（x+4）2，

解得：x＝，

∴PF的长为．

故选：D．

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

11．若根式有意义，则实数x的取值范围为　x≥8　．

解：∵根式有意义，

∴x﹣8≥0，

解得x≥8．

故答案为：x≥8．

12．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为　x1＝2，x2＝﹣4　．

解：∵（x+1）*3＝0，

∴（x+1）2﹣32＝0，

∴（x+1）2＝9，

x+1＝±3，

所以x1＝2，x2＝﹣4．

故答案为x1＝2，x2＝﹣4．

13．我市某中学举办了一次以“我的”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这7名同学成绩的　中位数　（填”平均数”“众数”或“中位数”）

解：因为七个数据从小到大排列后的第四个数是这七个数的中位数，知道中位数，然后与自己的成绩比较，就知道能否进入前四，即能否参加决赛．

故答案为：中位数．

14．如果一元二次方程x2﹣2x+k＝0没有实数根，则一次函数y＝kx+2不经过第　四　象限．

解：∵方程x2﹣2x+k＝0没有实数根，

∴△＝（﹣2）2﹣4k＝4﹣4k＜0，

∴k＞1，

∴一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、三象限．

故答案为：四．

15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为　或3　．

解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连接AC，

在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝＝5，

∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，

∴∠AB′E＝∠B＝90°，

当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，

∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，

∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，

∴CB′＝5﹣3＝2，

设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，

在Rt△CEB′中，

∵EB′2+CB′2＝CE2，

∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，

∴BE＝；

②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．

此时ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝3．

综上所述，BE的长为或3．

故答案为：或3．

三、解答题(共7大题,满分55分)

16．（1）计算：÷﹣×﹣．

（2）解方程：（x﹣2）（x﹣3）＝6．

解：（1）原式＝4﹣﹣2

＝4﹣3；

（2）整理，得：x2﹣5x＝0，

x（x﹣5）＝0，

x＝0或x﹣5＝0，

∴x1＝0，x2＝5．

17．用无刻度的直尺按要求作图．（请保留作图痕迹，不写作法，标上字母）

（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请你在图中画出∠AOB的平分线OP；

（2）如图2，在8×6的正方形网格中，请以BC为边画一个与△ABC面积相等，且各顶点均在格点上的▱BCMN．

解：（1）如图，射线OP即为所求．

（2）如图，平行四边形BCMN即为所求．

18．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0方程有两实根x1和x2．

（1）求实数k的取值范围；

（2）当x1和x2是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求k的值．

解：（1）∵方程有两个实数根．

∴△＝（﹣3）2﹣4k≥0，即9﹣4k≥0．

解得k≤；

（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝3，x1•x2＝k．

∵+＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝5，

∴9﹣2k＝5，

∴k＝2．

19．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，

∴AE＝DE．

∵AF∥BC，

∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE．

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）．

∴AF＝BD．

∵AF＝DC，

∴BD＝DC．

即：D是BC的中点．

（2）解：四边形ADCF是矩形；

证明：∵AF＝DC，AF∥DC，

∴四边形ADCF是平行四边形．

∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC即∠ADC＝90°．

∴平行四边形ADCF是矩形．

20．某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．

（1）求该商品平均每月的价格增长率；

（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．

解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，

依题意，得：50（1+m）2＝72，

解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：该商品平均每月的价格增长率为20%．

（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，

整理，得：x2﹣300x+14400＝0，

解得：x1＝60，x2＝240．

∵商家需尽快将这批商品售出，

∴x＝60．

答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．

21．某校举行了“文明在我身边”摄影比赛，已知每幅参赛作品成绩记为x分（60≤x≤100）．校方从500幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了不完整的统计图表．

“文明在我身边”摄影比赛成绩统计表

（1）统计表中a＝　12　，b＝　0.34　；样本成绩的中位数落在分数段 　70≤x＜80　中；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若80分以上（含80分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量有多少？

解：（1）本次调查的作品总数为18÷0.36＝50（幅），

则b＝17÷50＝0.34，a＝50×0.24＝12，

其中位数为第25、26个数的平均数，

∴中位数落在70≤x＜80中，

故答案为：12，0.34，70≤x＜80；

（2）补全频数分布直方图如图：

（3）500×（0.24+0.06）＝150（幅），

答：估计全校被展评作品数量有150幅．

22．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF

（1）求证：AE＝AF；

（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，

在△ABE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE＝AF；

（2）AM⊥EF，AM＝EF，理由是：

由（1）得：△ABE≌△ADF，

∴∠FAD＝∠EAB，

∴∠FAE＝∠DAB＝90°，

∴△FAE是直角三角形，

如图，过E作EN∥CD，交BD于N，

∴∠MNE＝∠MDF，∠MEN＝∠MFD，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠NBE＝45°，

∴△NBE是等腰直角三角形，

∴EN＝BE＝DF，

在△MNE和△MDF中，

∵，

∴△MNE≌△MDF（ASA），

∴EM＝FM，

∵AE＝AF，

∴AM⊥EF，AM＝EF．

四、解答题（共1小题，满分0分）

23．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点B′恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C′的坐标为　（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）　．

解：因为正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3），

所以画图如下：

当正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），

①点B的对应点B′恰好落在x轴正半轴上时，如图，

∵AB′＝AB＝5，OA＝3，

∴OB′＝＝4，

∵∠AB′O+∠OAB′＝90°，∠AB′O+∠C′B′E＝90°，

∴∠OAB′＝∠C′B′E，

在△AB′O和△EB′C′中，

，

∴△AB′O≌△EB′C′（AAS），

∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，

∴OE＝OB′+B′E＝4+3＝7，

∴点C的对应点C′的坐标为（7，4）；

②点B的对应点B′恰好落在y轴负半轴上时，如图，

B′C′＝AB＝BC′＝5，

∴点C的对应点C′的坐标为（5，﹣2）；

③点B的对应点B′恰好落在x轴负半轴上时，如图，

同①可知：

△AB′O≌△EB′C′（AAS），

∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，

∴OE＝OB′﹣B′E＝4﹣3＝1，

∴点C的对应点C′的坐标为（﹣1，﹣4）；

综上所述：点C的对应点C′的坐标为（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．

故答案为：（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．下载本文