1.求的取值范围,使得是增函数.
2.求的实数根的个数.
3.已知的个根组成首项为的等差数列,求.
4.已知锐角的外接圆的圆心为,求到三角形三边的距离之比.
5.已知点,若点是圆上的动点,求面积的最小值.
6.在中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数？
7.设点A、B、C分别在边长为1的正三角形的三边上,求的最小值.
8.若关于x的方程在有唯一解的,求实数a的范围.
9.求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.
10.求证:对于任意的正整数,必可以表示成的形式,其中.
2012年清华等五校自主招生试题−−通用基础测试
数 学
一、选择题
1.若为内部任一点(不包括边界),且,则必为( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
2.圆锥的轴截面是边长为的等边三角形,为底面中心,为的中点,动点在圆锥底面内(包括圆周).若,则点形成的轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
3.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数时按下这个按键,会等可能的将其替换为中的任意一个数.如果初始时显示,反复按这个按键使得最终显示,那么这个过程中,都出现的概率是( )
A. B. C. D.
4.已知,直线与的交点在直线上,则( )
A. B. C. D.
5.若正整数集合Ak的最小元素为1,最元素为2007,并且各元素可以从小到大排成一个公差为k的等差数列,则并集中的元素个数为
A.119 B.120 C.151 D.154
6.三角式化简为
A. B. C. D.
7．设k<3,k≠0，则二次曲线与必有
(A)不同的顶点；(B)不同的准线；(C)相同的焦点；(D)相同的离心率．
8.若P为椭圆l在第一象限上的动点，过点P引圆x2＋y2=9的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则S的最小值为( )
(A); (B)；(C); (D)
9. 设x1、x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根，若x1是虚数，是实数,则
的值为
A.0 B.−1003 C.1004 D.−1004
10.函数f:RR，对任意的实数x、y，只要x+y≠0，就有f(xy)=成立,则函数f(x)(x∈R)的奇偶性为
(A)一定是奇函数； (B)一定是偶函数; (C)既是奇函数，又是偶函数； (D)既不是奇函数，又不是偶函数．
二、解答题
11. 系统内有2k−1(k∈N+)个元件，每个元件正常工作的概率为p(0 13．已知锐角三角形ABC中，BE AC于点E,CD AB于点D，且BC=25，CE＝7,BD=15，若BE、CD交于点H，联结DE，以DE为直径作圆，该圆与AC交于另一点F，求AF的长度． 14.已知有n(n≥2)位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，试求n的所有可能值· 15．已知动点P在y轴上投影为H,A(−2,0),B(2,O)，满足. (1)求点P的轨迹方程C; (2)已知一条直线过点B，且与曲线C交于x轴下方两点C、D，M为CD中点，求M与点Q(0，−2)连线的斜率取值范围． 2012年名牌大学自主招生考试试题(3) 适用高校：北京理工大学、同济大学等十三校 一、选择题 1．正四面体的4个而上分别写若l,2,3,4,将4个这样的均匀正四面体投掷于桌而上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是( ) (A) (B) (C) (D) 2．设a>0,b＞0，c＞0，且a+b+c=1，则的最大值为( ) (A) (B) (C) (D) 3．已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线左支上的任意一点, 若的最小值为8a, 则双曲线的离心率的取值范围为( ) (A)(l，+∞); (B)(0,3]； (C)(1,2]； (D)(1,3] 4．如果关于x的方程2x2+3ax+a2−a＝0至少有一个根等于l的根，那么实数a的值( ) (A)不存在；(B)有一个；(C)有三个；(D)有四个． 5.5个顶点不共面的五边形叫空间五边形,空间五边形的5条边所在直线中,互相垂直的直线对至多有( ) (A)5对; (B)6对; (C)7对; (D)8对. 6．已知定义在实数集R上的函数f(x),其值域也是R,井且时任意x、y∈R．都有f[xf(y)]=xy,则|f(2007)等于( ) (A)0; (B)1; (C)20072; (D)2007 7．若k是正位数,且能被2k整除,则k的最大值为( ) (A)2004; (B)2005; (C)2006; (D)2008. 8.已知非零向量与满足,且则为( ) (A)三边均为不相等的三角形; (B)直角三角形; (C)等腰非等边三角形; (D)等边三角形. 9.关于x、y、z的方程组的实数解的组数有( ) (A)有一组解； (B)有两组解; (C)有无穷多组解； (D)无法确定 10．在欧非杯排球赛中，欧洲的参赛队伍比非洲的参赛队伍多9支,每两支球队赛一场，胜者得1分， 败者得0分,若欧洲球队所得总分为非洲球队所得总分的9倍，则非洲球队的各支球队中得分的最大可能值是( ) (A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 二、解答题 11.在m(m≥2)个不同数的排列P1 P2 ⋯Pm中, 若1≤i (2)令bn=,求证：2n< <2n+3,n=1,2，… 12.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 已知sinA＋sinC=msinB(m∈R)，且 4(A−C)+4cosB+cos2B=1. (1)求证：b2=4ac; (2)当m=， b=1时,求a、c的值； (3)若角B为最大内角(即B≥A且B≥C)．求实数m的取值范围. 13．已知a、b为实数，i为虚数单位．且关于z的二次方程4z2+(2a+i)z−8b(9a+4)−2(a+2b)i=0至少有一个实根．求这个实根的最大值． 14.双曲线C的渐近线方程为x±2y=0,点A(5,0)到双曲线C上动点P的距离的最小值为. (1)求双曲线方程； (2)若过点B(1,0)的直线l交双曲线C上支一点M，下支一点N，且4=5,求直线l的方程． 15．由抛物线x=y2＋2与点(3,1)处的法线及x轴、y轴所围成一个平面图形． (1)求此平面图形的面积； (2)求该平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积． 2013年“北约”自主招生试题 一、以和1−为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？ 二、在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有多少种停放方法？ 三、已知x2=2y+5,y2=2x+5，求x3−2x2y2+y2的值。 四、如图，△ABC中，AD为BC边上中线，DM、DN分别为ADB、的角平分线，试比较BM+CN与MN的大小关系，并说明理由。 五、数列｛an｝满足a1=1，前n项和为Sn,Sn+1=4an＋2，求a2013. 六、模长为1的复数、B、C，满足A+B+C≠0，求的模长。 七、最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数。 2013“华约”自主招生试题 2013-03-16 （时间90分钟，满分100分） 1.（10分）集合，为的子集，若集合中元素满足以下条件：①任意数字都不相等；②任意两个数之和不为9 （1）中两位数有多少？三位数有多少？ （2）中是否有五位数？六位数？ （3）若将集合的元素按从小到大的顺序排列，第个数为多少？ 2.（15分），，求与的值 3.直线与上两点、， （1）求中点的轨迹； （2）若曲线与相切于两点，求证两个切点在定直线上，并求过两切点的切线方程。 4. （15分）7个红球，8个黑球，从中任取4个球 （1）求取出的球中恰有1个是红球的概率 （2）求所取出球中黑球个数的分布列及期望 （3）若所取出的4个球颜色相同，求恰好全黑的概率 5. （15分），，，求证 （1）对，总存在正整数，使满足； （2），，对任意总存在使得时， 6. （15分）是两两不相等且大于的正整数，若，求的所有值。 7. （15分）已知 求证：（1）对， （2）若，求证：单调递减且下载本文
