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得分：           

本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合U＝{，，0，1，2，3}，A＝{，0，1}，B＝{1，2}，则（       ）

A．{，3}        В．{，2，3}

C．{，，0，3}        D．{，，0，2，3}

2．命题“，”的否定是（       ）

A．，    B．，

C．，    D．，

3．函数的图像如图所示，则（       ）

A．，        B．，

C．，    D．，

4．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻．若，，则x的值约为（       ）

A．1．322    B．1．410    C．1．507    D．1．669

5．设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是（       ）

A．若，，则    B．若，，则

C．若，，则    D．若，，，则

6．T1，T2，T3三个元件正常工作的概率分别为，，，且是相互的．如图，将T2，T3两个元件并联后再与T1元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（       ）

A．    В．    C．    D．

7．已知，，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（       ）

A．        B．

C．        D．

8．已知ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则的最小值是（       ）

A．    В．    C．    D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知函数（，，，）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（       ）

A．的最小正周期为2

B．的图像关于点（，0）对称

C．的图像关于直线对称

D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像

10．下列命题为真命题的是（       ）

A．若，互为共轭复数，则为实数

B．若，则

C．复数的共轭复数为

D．关于复数的方程（）有实数根，则

11．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（       ）

A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB

B．异面直线AD与PB所成的角为90°

C．二面角P—BC—A的大小为45°

D．BD⊥平面PAC

12．已知a为常数，函数有两个极值点，（），则（       ）

A．    В．    C．    D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日至30日，评委会把各校上传的文章数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图）．已知从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第二组的频数为180．那么本次活动收到的文章数是        ．

14．对任意实数，，min{，}表示，中较小的那个数，若，，，则的最大值是        ．

15．记n项正项数列为，，…，其前n项积为，定义为“相对

叠乘积”，如果有2020项的正项数列，，，…，的“相对叠乘积”为2020，则有2021项的数列10，，，，…，的“相对叠乘积”为        ．

16．如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥P—ABCD中，球O1内切于该四棱锥，球O2与球O1及四棱锥的四个侧面相切，球O3与球O2及四棱锥的四个侧面相切，…依次作球On+1与球On及四棱锥的四个侧面相切，则球O1的表面积为        ．球O1，球O2，…球On的表面积之和为        ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）设正项数列为等比数列，它的前n项和为，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和．

18．（12分）如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b=3，c=6，，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线．

（1）求及线段BC的长；

（2）求△ADE的面积．

19．（12分）如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°且AB=2，E为AD的中点．将△ABE沿BE折起至△A1BE使，得到如图②所示的四棱锥A1—BCDE．

（1）求证：平面A1BE⊥平面A1BC；

（2）若P为A1C的中点，求二面角P—BD—C的余弦值．

20．（12分）已知函数（）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求证：．

21．（12分）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．

（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；

（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数X的分布列．

（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由；

22．（12分）已知函数，．

（1）若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）当时，若，存在公切线l，求的范围（表示不大于x的最大的整数）．

参

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2．C【解析】∵命题“，”是一个全称量词命题．

∴其命题的否定为：，，故选C．

3．D【解析】函数图像关于直线对称，故，

又当趋向正无穷大时，向0，可得，故选D．

4．A【解析】由题意可知，

则，故选A．

5．B【解析】对于A，m可以在内，故A错；

对于C，n可以在内，故C错误；

对于D，m与n可以平行，故D错．

6．A【解析】记正常工作为事件A，正常工作为事件B，正常工作为事件C，

则，，．

电路不发生故障，即正常工作，且，至少有一个正常工作．

，至少有一个正常工作的概率，

所以整个电路不发生故障的概率．故选A

7．B【解析】，，，

，

当且仅当时取等号

不等式恒成立，，

整理得，解得，即，

的取值范围为．故选：B

8．B【解析】设AB的中点为E，EC的中点为F，

则，故选B．也可以建系来做．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

且．又，且,

，．

，的图像关于点对称，B正确；

，的图像关于直线对称，C正确；

是偶函数，D不正确。故选ABC．

10．ABD【解析】设，，则为实数，A选项正确．

设，，则，正确．

，其共轭复数是，C选项错误．

设是方程的实根，

则，，．D选项正确．故选：ABD．

11．ABC【解析】如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM．

∵侧面PAD为正三角形，

，又底面ABCD是菱形，，

是等边三角形，

，又，PM，平面PMB，

平面PBM，故A正确．

对于B，平面，

，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．

对于C，，

平面PBM，，，

是二面角的平面角，设，

则，，

∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，，

平面ABCD，

在中，，即，

故二面角的大小为45°，故C正确．

对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误．

故选ABC．

12．ACD【解析】，，令，则，

令，则，

在上单调递增，在上单调递减．

作出，的大致图像，

当时，有两个根，，且，当时，．

函数在区间上递减，在区间上递增，在区间上递减．

，．

故选：ACD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．1200【解析】由题设中提供的直方图可得本次活动收到的文章数

14．1【解析】作出函数，的图象，

令，即，解得，，

由题意得，

由图象知，．所以的最大值是1．故答案为：1．

15．4041【解析】由题意得2021项的数列10，，，…，的“相对叠乘积”为

故答案为：4041．

16．   

【解析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则，

，

设球的半径为，表面积为，

如图，在截面PMO中，设N为球与平面PAB的切点，

则N在PM上，且，设球的半径为，则，

因为，所以，则，

，所以，

设球与球相切于点Q，则，设球的半径为，

同理可得，所以，同理可得，

．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解析】（1）正项数列为等比数列，，．

，即，

，故

（2），．

，①

，②

由②-①式得：

，．

18．【解析】（1）根据题意，，

由正弦定理知：．

又，，；

又由，解得，即．

（2）根据题意，因为AD为BC边上的中线，

所以，

因为AE平分，

所以，故，

变性可得，，则，

所以．

19．【解析】证明：（1）在图①中，连接BD．

四边形ABCD为菱形，，是等边三角形．

为AD的中点，，．

又，．

在图②中，，．

．

，，

又，，平面．

平面．

平面，∴平面平面．

解：（2）由（1），知，．

，BE，平面BCDE．

平面BCDE．

以E为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，．

为的中点，．

，．

设平面PBD的一个法向量为

由得

令，得．

又平面BCD的一个法向量为．

设二面角的大小为，由题意知该二面角的平面角为锐角．

则．

∴二面角的余弦值为．

20．【解析】（1）解：函数的定义域是，

当时，在上恒成立，故函数在上单调递增，

当时，令，得；令，得，

综上，当时，函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）证明：要证明，即证，即证

设，则．

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以是极小值点，也是最小值点，且

令，则．

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以是的极大值点，也是最大值点，且，

所以，故成立．

21．【解析】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，

则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；

（2）X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．

；；．

所以分布列为：

，

，

，

因为，

故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．

22．【解析】（1）由题意，在上恒成立．

即在上恒成立．

令，则，

所以在上单调递增．

于是，所以．

（2）当时，设公切线在上的切点为，

则切线方程为：．

设公切线在上的切点为，

则切线方程为：，

，

又，．

令．．

在上单调递减，而，，

满足，在区间上单调递增，在区间上单调递减．

，

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