一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（）
A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）
2．（5分）已知i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知平面向量，且，则实数x的值为（）
A．B．C．D．
4．（5分）已知tanθ=2，则的值为（）
A．B．C．D．5．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为（）
A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣3
6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）
A．B．C．D．
7．（5分）在等差数列{a n}中，若S n为前n项和，2a7=a8+5，则S11的值是（）A．55 B．11 C．50 D．60
8．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）
A．甲是教师，乙是医生，丙是记者
B．甲是医生，乙是记者，丙是教师
C．甲是医生，乙是教师，丙是记者
D．甲是记者，乙是医生，丙是教师9．（5分）已知函数，以下命题中假命题是（）
A．函数f（x）的图象关于直线对称
B．是函数f（x）的一个零点
C．函数f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到
D．函数f（x）在上是增函数
10．（5分）设函数f（x）=xe x+1，则（）
A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点
C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点
11．（5分）已知双曲线，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，若，则双曲线C的离心率为（）
A．2 B．C．D．
12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x ∈[﹣2，0]时，则在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log8（x+2）=0解的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值为．
14．（5分）已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P（1，1）为中点，则弦AB 所在直线方程是．
15．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+1=3a n﹣2a n﹣1（n≥2），则a n=．16．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，
．
（1）求△ABC的面积；
（2）若b+c=6，求a的值．
18．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况
是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占．
（Ⅰ）请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；
（Ⅱ）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率．
附：，其中n=a+b+c+d．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB=2，CD=3，M为PC上一点，且PM=2MC．
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）若AD=2，PD=3，求三棱锥P﹣ADM的体积．
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点在椭圆上，且有．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F2的直线l与椭圆交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）2﹣3alnx，a∈R．
（1）求函数f（x）图象经过的定点坐标；
（2）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程及函数f（x）单调区间；
（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t 为参数），曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4．以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α，（0＜α＜π）（1）求曲线C1、C2的极坐标方程；
（2）设点A、B为射线l与曲线C1、C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a∈R．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+|2x+1|的解集；
（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）
参与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）
【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，
则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），
故选：C
2．（5分）已知i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵=，
∴复数的共扼复数为，在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．
故选：B．
3．（5分）已知平面向量，且，则实数x的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，向量，
则﹣=（﹣3，x﹣），
又由，则（﹣）•=（﹣3）×1+（x﹣）×=0，
解可得x=2，故选：B．
4．（5分）已知tanθ=2，则的值为（）A．B．C．D．
【解答】解：∵tanθ=2，则=1++
=1++=+=，
故选：C．
5．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为（）
A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣3
【解答】解：输出才结果为零，有y=0
由程序框图可知，当：y=（）x﹣8=0时，解得选x=﹣3；
当y=2﹣log3x=0，解得x=9．
综上，有x=﹣3，或者9．
故选：B．
6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是P﹣ABCD，
其中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥平面ABCD，如图，
PB=PD==2，
∴该四棱锥的侧面积是：
S=S△PBC+S△PDC+S△PAB+S△PCD
=
=4+4．
故选：A．
7．（5分）在等差数列{a n}中，若S n为前n项和，2a7=a8+5，则S11的值是（）A．55 B．11 C．50 D．60
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a7=a8+5，∴2a1+12d=a1+7d+5，
∴a1+5d=5=a6，
则S11==11a6=55．故选：A．
8．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）
A．甲是教师，乙是医生，丙是记者
B．甲是医生，乙是记者，丙是教师
C．甲是医生，乙是教师，丙是记者
D．甲是记者，乙是医生，丙是教师
【解答】解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
从而排除B和D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生．
故选：C．
9．（5分）已知函数，以下命题中假命题是（）
A．函数f（x）的图象关于直线对称
B．是函数f（x）的一个零点
C．函数f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到
D．函数f（x）在上是增函数
【解答】解：对于A，当x=时，函数f（x）=sin（2×+）=1为最大值，∴f（x）的图象关于直线对称，A正确；
对于B，当x=﹣时，函数f（x）=sin（﹣2×+）=0，
∴x=﹣是函数f（x）的一个零点，B正确；
对于C，函数f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），
其图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到，∴C错误；对于D，x∈[0，]时，2x+∈[，]，
∴函数f（x）=sin（2x+）在上是增函数，D正确．
故选：C．
10．（5分）设函数f（x）=xe x+1，则（）
A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点
C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点
【解答】解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，
令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1，
令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数
令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数
所以x=﹣1为f（x）的极小值点．
故选：D．
11．（5分）已知双曲线，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，若，则双曲线C的离心率为（）
A．2 B．C．D．
【解答】解：由直径所对的圆周角为直角，可得
∠OAF=90°，
在△OAF中，
可得AF=OFcos30°=c，
由AF为焦点（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离，
即为==b，
即有b=c，
e====2，
故选A．
12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x ∈[﹣2，0]时，则在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log8（x+2）=0解的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），
∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
且f（6）=1，则函数y=f（x）与y=log 8（x+2）在区间（﹣2，6）上的图象如下图所示：
根据图象可得y=f（x）与y=log 8（x+2）在区间（﹣2，6）上有3个不同的交点．故选：C．
．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值为﹣10．
【解答】解：画出约束条件：可行域如下图，
由z=x﹣3y得y=x﹣；
平移直线y=x﹣，
由图象可知当直线经过点B时，
直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，
由解得，
B（﹣1，3）；
故此时z=﹣1﹣3×3=﹣10；
故答案为：﹣10
14．（5分）已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P（1，1）为中点，则弦AB 所在直线方程是2x﹣y﹣1=0．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入抛物线方程得y12=4x1，①，y22=4x2，②，
①﹣②整理得k===2，则弦AB所在直线方程为y﹣1=2（x﹣1），
即为2x﹣y﹣1=0．
故答案为：2x﹣y﹣1=0．
15．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+1=3a n﹣2a n﹣1（n≥2），则a n=2n﹣1（n∈N*）．
【解答】解：∵a n
=3a n﹣2a n﹣1（n≥2），
+1
﹣a n=2a n﹣2a n﹣1=2（a n﹣a n﹣1）（n≥2），
∴a n
+1
可得：
a3﹣a2=2（a2﹣a1）
a4﹣a3=2（a3﹣a2）
…
a n+1﹣a n=2（a n﹣a n﹣1）
﹣a2=2（a n﹣a1），可得：a n+1﹣2=2（a n﹣1），即：a n+1=2a n，
相加可得：a n
+1
∴数列{a n}是等比数列，n∈N*，
∴．
故答案为：2n﹣1（n∈N*）．
16．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为6．
【解答】解：设正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为a，则高
h==，
∴体积V=a2h=，
设y=108a4﹣a6，
则y′=432a3﹣3a5，
由y′=432a3﹣3a5=0，解得a=0或a=12，
∴当a=12时，体积最大，此时h==6，
故答案为：6．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，
．
（1）求△ABC的面积；
（2）若b+c=6，求a的值．
【解答】解：（1）因为，
所以，．
又由得bccosA=3，所以bc=5
因此．
（2）由（1）知，bc=5，又b+c=6，
由余弦定理，得，所以
18．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况
是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占．
（Ⅰ）请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；
（Ⅱ）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率．
附：，其中n=a+b+c+d．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，
∴=，
∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；
（Ⅱ）用分层抽样的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为a1，a2，a3，b；
∵Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），（a2，a3），（a2，b），（a3，b）}，∴n=6；设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件A，
A={（a1，b），（a2，b），（a3，b）}，∴m=3；
则所求的概率为．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB=2，CD=3，M为PC上一点，且PM=2MC．
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）若AD=2，PD=3，求三棱锥P﹣ADM的体积．
【解答】（1）证明：法一、过M作MN∥CD交PD于点N，连接AN．∵PM=2MC，∴．
又∵，且AB∥CD，
∴AB∥MN，AB=MN，则四边形ABMN为平行四边形，
∴BM∥AN．
又∵BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
法二、过点M作MN⊥CD于点N，N为垂足，连接BN．
由题意，PM=2MC，则DN=2NC，
又∵DC=3，DN=2，∴AB=DN，AB∥DN，
∴四边形ABND为平行四边形，则BN∥AD．
∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC．
又MN⊥DC，∴PD∥MN．
又∵BN⊂平面MBN，MN⊂平面MBN，BN∩MN=N；
∵AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD=D；
∴平面MBN∥平面PAD．
∵BM⊂平面MBN，∴BM∥平面PAD；
（2）解：过B作AD的垂线，垂足为E．
∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PD⊥BE．
又∵AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD=D．
∴BE⊥平面PAD．
由（1）知，BM∥平面PAD，
∴M到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离，即BE．在△ABC中，AB=AD=2，∴．
∴．
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点在椭圆上，且有．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F2的直线l与椭圆交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．
【解答】解：（1）由，得，∴．
将代入，得b2=1．
∴椭圆C的方程为；
（2）由已知，直线l的斜率为零时，不合题意；
设直线方程为x﹣1=my，点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（m2+2）y2+2my﹣1=0，
由韦达定理，得，
∴
==
==
=，
当且仅当，即m=0时，等号成立．
∴△AOB面积的最大值为．
21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）2﹣3alnx，a∈R．
（1）求函数f（x）图象经过的定点坐标；
（2）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程及函数f（x）单调区间；
（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当x=1时，ln1=0，所以f（1）=4，
所以函数f（x）的图象无论a为何值都经过定点（1，4）．
（2）当a=1时，f（x）=（x+1）2﹣3lnx．f（1）=4，f'（1）=1，则切线方程为y﹣4=1×（x﹣1），即y=x+3．
在x∈（0，+∞）时，如果，
即时，函数f（x）单调递增；如果，
即时，函数f（x）单调递减．
（3），x＞0．
当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增．f（x）min=f（1）=4，f（x）≤4不恒成立．
当a＞0时，设g（x）=2x2+2x﹣3a，x＞0．
∵g（x）的对称轴为，g（0）=﹣3a＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，且存在唯一x0∈（0，+∞），
使得g（x0）=0．
∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；∴当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增．
∴f（x）在[1，e]上的最大值f（x）max=max{f（1），f（e）}．
∴，得（e+1）2﹣3a≤4，
解得．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t 为参数），曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4．以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α，（0＜α＜π）（1）求曲线C1、C2的极坐标方程；
（2）设点A、B为射线l与曲线C1、C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值．【解答】解（1）由曲线C1的参数方程（t为参数）消去参数t得x2+（y﹣1）2=1，
即x2+y2﹣2y=0，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ．由曲线C2的直角坐标方程x2+（y﹣2）2=4，得x2+y2﹣4y=0，∴曲线C2的极坐标方程ρ=4sinθ．
（2）联立，得A（2sinα，α），∴|OA|=2sinα，联立，得B（4sinα，α），∴|OB|=4sinα．
∴|AB|=|OB|﹣|OA|=2sinα．
∵0＜α＜π，∴当时，|AB|有最大值2．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a∈R．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+|2x+1|的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=|x﹣1|+3x
由f（x）≥|2x+1|+3x，得|x﹣1|﹣|2x+1|≥0，
故|x﹣1|≥|2x+1|，解得：﹣2≤x≤0，
∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤0}．
（2）由|x﹣a|+3x≤0，可得，或．
即，或．
①当a＞0时，不等式的解集为．
由，得a=2．
②当a=0时，解集为{0}，不合题意．
③当a＜0时，不等式的解集为．
由，得a=﹣4．
综上，a=2，或a=﹣4．下载本文
