专题26数列的综合（学生版）

1．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设[]n n b a =，

求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．

2．（2013•山东）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T 且1(2

n n n a T λλ++

=为常数）．令*2()n n c b n N =∈求数列{}n c 的前n 项和n R ．

3．（2011•辽宁）已知等差数列{}n a 满足20a =，6810a a +=-．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列1{}2n n a -的前n 项和n S ．4．（2019•天津）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+．

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,

k k n k k n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈．()i 求数列22{(1)}n n a c -的通项公式；

()ii 求2*1()n

i i i a c n N =∈∑．

5．（2019•新课标Ⅱ）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．

6．（2018•全国）已知数列{}n a 的前n 项和为n S

，1a =0n a >，11()2n n n a S S +++= ．

（1）求n S ；

（2）求12231

111n n S S S S S S +++⋯++++．7．（2018•北京）设{}n a 是等差数列，且12a ln =，2352a a ln +=．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求12n a a a e e e ++⋯+．

8．（2017•全国）设数列{}n b 的各项都为正数，且11

n n n b b b +=

+．（1）证明数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；

（2）设11b =，求数列1{}n n b b +的前n 项和n S ．

9．（2017•新课标Ⅰ）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．已知22S =，36S =-．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列．

10．（2017•新课标Ⅲ）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求数列{}21

n a n +的前n 项和．11．（2016•新课标Ⅰ）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =

，11n n n n a b b nb +++=．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和．

12．（2016•新课标Ⅱ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =．

（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；

（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．

13．（2015•福建）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋯+的值．

14．（2015•山东）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n n S =+．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b ，满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．

15．（2015•新课标Ⅰ）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n

n n a a S +=+()I 求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）设1

1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．16．（2015•四川）设数列{}(1n a n =，2，3，)⋯的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}n

a 的前n 项和为n T ，求使得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值．17．（2015•天津）已知数列{}n a 满足2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列

（1）求q 的值和{}n a 的通项公式；

（2）设2221

log n n n a b a -=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和．18．（2015•陕西）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋯，n x 的各项和，其中0x >，n N ∈，2n ．

（Ⅰ）证明：函数()()2n n F x f x =-在1(2

，1)内有且仅有一个零点（记为)n x ，且11122n n n x x +=+；

（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 和()n g x 的大小，并加以证明．

19．（2015•山东）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列1

1{

}n n a a + 的前n 项和为21n n +．（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设(1)2n a n n b a =+ ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

20．（2014•大纲版）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且4n S S ．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．（2014•浙江）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S = ．（Ⅰ）求d 及n S ；

（Ⅱ）求m ，*(,)k m k N ∈的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=．

22．（2014•新课标Ⅰ）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求数列{}2n n

a 的前n 项和．23．（2014•新课标Ⅱ）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+．（Ⅰ）证明1{}2

n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1211132

n a a a ++⋯+<．24．（2014•安徽）数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈．（Ⅰ）证明：数列{}n a n

是等差数列；

（Ⅱ）设3n n b ={}n b 的前n 项和n S ．

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题26数列的综合（教师版）

1．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设[]n n b a =，

求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，

344a a += ，576a a +=．

∴1

1

2542106a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，2355

n a n ∴=+；（Ⅱ）[]n n b a = ，

1231b b b ∴===，

452b b ==，

6783b b b ===，

9104b b ==．

故数列{}n b 的前10项和103122332424S =⨯+⨯+⨯+⨯=．

2．（2013•山东）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T 且1(2n n n

a T λλ++

=为常数）．令*2()n n c b n N =∈求数列{}n c 的前n 项和n R ．

解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由221n n a a =+，取1n =，得2121a a =+，即110a d -+=①

再由424S S =，得1114344()2

d a a a d ⨯+=++，即12d a =②联立①、②得11a =，2d =．

所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-；

（2）把21n a n =-代入12n n n a T λ++

=，得22n n n T λ+=，则22n n n T λ=-．所以111b T λ==-，

当2n 时，11122(1)2()()222n n n n n n n n n b T T λλ-----=-=-

--=．所以122

n n n b --=，221122124n n n n n n c b ----===．121211210444n n n n R c c c --=++⋯+=+

++⋯+③2311214444

n n n R -=++⋯+④③-④得：12111(1)31111144144444414

n n n n n n n R -----=++⋯+-=--所以431(1)94

n n n R +=-；所以数列{}n c 的前n 项和431(1)94

n n n R +=-．3．（2011•辽宁）已知等差数列{}n a 满足20a =，6810a a +=-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列1

{}2n n a -的前n 项和n S ．解：()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11

021210a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得：111a d =⎧⎨=-⎩

，故数列{}n a 的通项公式为2n a n =-；

()II 设数列1{}2

n n a -的前n 项和为n S ，即21122n n n a a S a -=++⋯+①，故11S =，122242n n

n

S a a a =++⋯+②，当1n >时，①-②得：

121112222n n n n

n n

S a a a a a a ----=++⋯+-111121(2422

n n n --=-++⋯+-1121(1)222

n n n n n --=---=，所以12n n n

S -=，综上，数列1{}2n n a -的前n 项和1

2n n n S -=．4．（2019•天津）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+．

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,

k k n k k n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈．()i 求数列22{(1)}n n a c -的通项公式；

()ii 求2*1()n

i i i a c n N =∈∑．

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依题意有：

26626124q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩

，4(1)331n a n n ∴=+-⨯=+，

16232n n n b -=⨯=⨯．

（Ⅱ）()i 数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,

k k n k k n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈．222(1)(1)(321)(321)941n n n n n n n a c a b ∴-=-=⨯+⨯-=⨯-，

∴数列22{(1)}n n a c -的通项公式为：

22(1)941n n n a c -=⨯-．

12(21)(243)(941)2n n n n

i i =-=⨯+⨯+⨯-∑211

4(14)(3252)914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--2112725212n n n --=⨯+⨯--．*()n N ∈．

5．（2019•新课标Ⅱ）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．解：（1）设等比数列的公比为q ，

由12a =，32216a a =+，得22416q q =+，即2280q q --=，解得2q =-（舍)或4q =．∴11211242n n n n a a q ---==⨯=；

（2）2122log 221n n n b a log n -===-，11b = ，12(1)1212n n b b n n +-=+--+=，∴数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列{}n b 的前n 项和2(1)212

n n n T n n -⨯=⨯+=．6．（2018•全国）已知数列{}n a 的前n 项和为n S

，1a =0n a >，11()2n n n a S S +++= ．

（1）求n S ；

（2）求12231111n n S S S S S S +++⋯++++．解：（1

）1a =0n a >，11()2n n n a S S +++= ，可得11()()2n n n n S S S S ++-+=，

可得2212n n S S +-=，

即数列2{}n

S 为首项为2，公差为2的等差数列，可得222(1)2n

S n n =+-=，由0n a >

，可得n S =（2

）11n n S S +=+

22==，即有12231

111n n S S S S S S +++⋯+++

+122=

+-⋯+

1)=．7．（2018•北京）设{}n a 是等差数列，且12a ln =，2352a a ln +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求12n a a a e e e ++⋯+．

解：（Ⅰ）{}n a 是等差数列，且12a ln =，2352a a ln +=．可得：12352a d ln +=，可得2d ln =，{}n a 的通项公式；1(1)2n a a n d nln =+-=，（Ⅱ）22n

n a ln n e e ==，∴1212312(12)22222212n n a a a n

n e e e +-++⋯+=+++⋯+==--．8．（2017•全国）设数列{}n b 的各项都为正数，且11n n n b b b +=+．（1）证明数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

为等差数列；

（2）设11b =，求数列1{}n n b b +的前n 项和n S ．解：（1）证明：数列{}n b 的各项都为正数，且11

n n n b b b +=+，两边取倒数得11111n n n n

b b b b ++==+，

故数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

为等差数列，其公差为1，首项为11b ；（2）由（1）得，

111b =，111(1)n n n b b =+-=，故1n b n =，所以1111(1)1

n n b b n n n n +==-++，因此11111122311n n S n n n =-

+-+⋯+-=++．9．（2017•新课标Ⅰ）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．已知22S =，36S =-．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列．解：（1）设等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，则332628a S S =-=--=-，则31228a a q q -==，328a a q q -==，由122a a +=，2882q q

--+=，整理得：2440q q ++=，解得：2q =-，则12a =-，1(2)(2)(2)n n n a -=--=-，{}n a ∴的通项公式(2)n n a =-；

（2）由（1）可知：11(1)2[1(2)]1[2(2)]11(2)3

n n n n a q S q +----===-+----，则211[2(2)]3n n S ++=-+-，321[2(2)]3

n n S ++=-+-，由231211[2(2)][2(2)]33

n n n n S S +++++=-+--+-，1211[4(2)(2)(2)(2)]3

n n ++=-+-⨯-+-⨯-，1111[42(2)]2[(2(2))]33

n n ++=-+-=⨯-+-，2n S =，

即122n n n S S S +++=，

1n S +∴，n S ，2n S +成等差数列．

10．（2017•新课标Ⅲ）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求数列{}21

n a n +的前n 项和．解：（1）数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=．2n 时，1213(23)2(1)n a a n a n -++⋯+-=-．(21)2n n a ∴-=．221

n a n ∴=-．当1n =时，12a =，上式也成立．

221

n a n ∴=-．（2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+．∴数列{}21

n a n +的前n 项和1111112(1)()(133521212121n n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++．11．（2016•新课标Ⅰ）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =

，11n n n n a b b nb +++=．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和．

解：（Ⅰ）11n n n n a b b nb +++= ．

当1n =时，1221a b b b +=．

11b = ，213

b =，12a ∴=，

又{}n a 是公差为3的等差数列，31n a n ∴=-，

（Ⅱ）由()I 知11(31)n n n n b b nb ++-+=，即13n n b b +=，

∴数列{}n b 是以1为首项，以13

为公比的等比数列，

{}n b ∴的前n 项和111()3313(13)1222313

n

n n n S ---==-=-- ．12．（2016•新课标Ⅱ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；

（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．解：（Ⅰ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，4728a =．可得44a =，则公差1d =．

n a n =，

[]n b lgn =，则1[1]0b lg ==，

11[11]1b lg ==，

101[101]2b lg ==．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12390b b b b ===⋯==，101112991b b b b ===⋯==．1001011021039992b b b b b ====⋯==，10,003b =．数列{}n b 的前1000项和为：909019002313⨯+⨯+⨯+=．

13．（2015•福建）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋯+的值．

解：（Ⅰ）设公差为d ，则11

14(3)(6)15a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩

，所以3(1)2n a n n =+-=+；（Ⅱ）222n a n n b n n -=+=+，

所以21012310(21)(22)(210)

b b b b +++⋯+=++++⋯++210(222)(1210)

=++⋯++++⋯+102(12)(110)102101122

-+⨯=+=-．14．（2015•山东）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n n S =+．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b ，满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．

解：（Ⅰ）因为233n n S =+，所以112336a =+=，故13a =，

当1n >时，11233n n S --=+，

此时，1112223323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，即13n n a -=，

所以13,13, 1.

n n n a n -=⎧=⎨>⎩．

（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113

b =，当1n >时，133log 3n n b -= 11(1)3n n n --=-⨯，所以1113

T b ==；当1n >时，121121(1323(1)3)3n n n T b b b n ---=++⋯+=

+⨯+⨯+⋯+-⨯，所以012231(132333(1)3)n n T n ---=+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯，两式相减得：

10122111221313632(3333(1)3)(1)33313623n n n n n n n T n n --------+=++++⋯+--⨯=+--⨯=--⨯，所以13631243n n

n T +=-⨯，经检验，1n =时也适合，综上可得13631243n n

n T +=-⨯．15．（2015•新课标Ⅰ）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n

n n a a S +=+()I 求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）设1

1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．

解：()I 由2243n n n a a S +=+，可知2111243

n n n a a S ++++=+两式相减得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，

即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，

0n a > ，12n n a a +∴-=，

当1n =时，2111243a a a +=+，

11a ∴=-（舍)或13a =，

则{}n a 是首项为3，公差2d =的等差数列，

{}n a ∴的通项公式32(1)21:

n a n n =+-=+（Ⅱ）21n a n =+ ，

111111()(21)(23)22123

n n n b a a n n n n +∴===-++++，∴数列{}n b 的前n 项和1111111111())23557212323233(23)n n T n n n n =

-+-+⋯+-=-=++++．16．（2015•四川）设数列{}(1n a n =，2，3，)⋯的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，

3a 成等差数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}n

a 的前n 项和为n T ，求使得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值．解：（Ⅰ）由已知12n n S a a =-，有

1122n n n n n a S S a a --=-=-(2)n ，

即12(2)n n a a n -= ，

从而212a a =，32124a a a ==，

又1a ，21a +，3a 成等差数列，

11142(21)a a a ∴+=+，解得：12a =．

∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n n a =；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：112

n n a =，∴211[1()]11112211222212

n n n n T -=++⋯+==--．由1|1|1000n T -<，得11|11|21000

n --<，即21000n >．9102512100010242=<<= ，

10n ∴ ．于是，使1|1|1000

n T -<成立的n 的最小值为10．17．（2015•天津）已知数列{}n a 满足2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列

（1）求q 的值和{}n a 的通项公式；

（2）设2221

log n n n a b a -=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和．解：（1）2(n n a qa q += 为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =，

3a q ∴=，25a q =，42a q =，

又23a a + ，34a a +，45a a +成等差数列，

22323q q q ∴⨯=++，

即2320q q -+=，

解得2q =或1q =（舍)，

1222,2,n

n n n a n -⎧⎪∴=⎨⎪⎩

为奇数为偶数；（2）由（1）知2221121log 222

n n n n n n a log n b a ---===，*n N ∈，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2321111111234(1)22222

n n n T n n --=++++⋯+-+ ，

233211*********(1)22222

n n n T n n --∴=+++++⋯+-+ ，两式相减，得232111111322222

n n n T n --=++++⋯+- 2111[1()]12231212

n n n ---=+-- 21113122n n n --=+-

- 1

242n n -+=-．18．（2015•陕西）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋯，n x 的各项和，其中0x >，n N ∈，2n ．

（Ⅰ）证明：函数()()2n n F x f x =-在1(2

，1)内有且仅有一个零点（记为)n x ，且11122n n n x x +=+；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 和()n g x 的大小，并加以证明．

证明：（Ⅰ）由2()()212n n n F x f x x x x =-=+++⋯+-，

则n F （1）10n =->，

1211()111112()1()()22012222212

n n n n F +-=+++⋯+-=-=--．()n F x ∴在1(2

，1)内至少存在一个零点，又1()120n n F x x nx -'=++⋯+>，()n F x ∴在1(2

，1)内单调递增，()n F x ∴在1(2

，1)内有且仅有一个零点n x ，n x 是()n F x 的一个零点，()0n n F x ∴=，即11201n n n

x x +--=-，故11122n n n x x +=+；（Ⅱ）由题设，(1)(1)()2

n n n x g x ++=，设2(1)(1)()()()12n n

n n n x h x f x g x x x x ++=-=+++⋯+-，0x >．

当1x =时，()()n n f x g x =．

当1x ≠时，11(1)()122n n n n x h x x nx

--+'=++⋯+-．若01x <<，111111(1)(1)(1)()20222n n n n n n n n x n n x n n x h x x

x nx ------+++'>++⋯+-=-=．若1x >，111

111(1)(1)(1)()20222

n n n n n n n n x n n x n n x h x x x nx ------+++'<++⋯+-=-=．()h x ∴在(0,1)内递增，在(1,)+∞内递减，

()h x h ∴<（1）0=，即()()n n f x g x <．

综上，当1x =时，()()n n f x g x =；

当0x >且1x ≠时，()()n n f x g x <．

19．（2015•山东）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11{

}n n a a + 的前n 项和为21n n +．（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设(1)2n a n n b a =+ ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：方法一：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ，则10a >，1(1)n a a n d ∴=+-，11n a a nd +=+，令11n n n c a a += ，则11111111[][(1)]()(1)n c a n d a nd d a n d a nd

==-+-++-+，1211111111111111[]2(1)n n c c c c d a a d a d a d a n d a nd -∴++⋯++=

-+-⋯+-++++-+2111111111[]()n n d a a nd a a nd a a dn

=-==+++，又 数列11{}n n a a + 的前n 项和为21n n +，∴211

12a a d ⎧=⎪⎨=⎪⎩，11a ∴=或1-（舍)，2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-；方法二：设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ，则10a >，则由数列1

1{}n n a a + 的前n 项和为21n n +，

得1212231131125

a a a a a a ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴1111()3()(2)15a a d a d a d +=⎧⎨++=⎩，∴112a d =⎧⎨=⎩，12(1)21n a n n ∴=+-=-；

（2）由（1）知21(1)2(211)24n a n n n n b a n n -=+=-+= ，121214244n n n T b b b n ∴=++⋯+=++⋯+ ，23141424(1)44n n n T n n +∴=++⋯+-+ ，两式相减，得121113434444433

n n n n n T n ++--=++⋯+-=- ，1(31)449

n n n T +-+∴= ．20．（2014•大纲版）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且4n S S ．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设1

1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）在等差数列{}n a 中，由4n S S ，得40a ，50a ，

又113a = ，∴13301340

d d +⎧⎨+⎩ ，解得131334d -- ，2a 为整数，4d ∴=-，{}n a ∴的通项为174n a n =-；

（2）174n a n =- ，111111()(174)(134)4417413

n n n b a a n n n n +∴=

==-----，于是12n n T b b b =++⋯⋯+1111111[(((413995417413n n =-+-+⋯⋯+-------111()413413

n =

---13(134)n n =-．21．（2014•浙江）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S = ．（Ⅰ）求d 及n S ；

（Ⅱ）求m ，*(,)k m k N ∈的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=．解：（Ⅰ）由11a =，2336S S = 得，

12123()()36a a a a a +++=，

即(2)(33)36d d ++=，化为23100d d +-=，解得2d =或5-，

又公差0d >，则2d =，所以2*1(1)()2

n n n S na d n n N -=+=∈ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)21n a n n =+-=-，由1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=得，

(1)()652

m m k k a a +++=，即(1)(21)65k m k ++-=，

又m ，*k N ∈，则(1)(21)513k m k ++-=⨯，或(1)(21)165k m k ++-=⨯，下面分类求解：

当15k +=时，2113m k +-=，解得4k =，5m =；当113k +=时，215m k +-=，解得12k =，3m =-，故舍去；当11k +=时，2165m k +-=，解得0k =，故舍去；当165k +=时，211m k +-=，解得k =，31m =-，故舍去；综上得，4k =，5m =．

22．（2014•新课标Ⅰ）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求数列{}2n n a 的前n 项和．解：（1）方程2560x x -+=的根为2，3．又{}n a 是递增的等差数列，故22a =，43a =，可得21d =，12d =

，故112(2)122n a n n =+-⨯

=+，（2）设数列{}2n n

a 的前n 项和为n S ，

3112123122222

n n n n n a a a a a S --=+++⋯++，①31122341

1222222n n n n n a a a a a S -+=+++⋯++，②①-②得1123411311(1)111111242()1222222222212

n n n n n n n a a a S d -++-=++++⋯+-=+⨯--，解得11131124(1222222

n n n n n n S -++++=+--=-．23．（2014•新课标Ⅱ）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+．（Ⅰ）证明1{}2

n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1211132

n a a a ++⋯+<．证明（Ⅰ）1111313()2223111222n n n n n n a a a a a a ++

+++===+++， 113022

a +=≠，∴数列1{}2n a +是以首项为32，公比为3的等比数列；11333222

n

n n a -∴+=⨯=，即312n n a -=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知1231

n n a =-，当2n 时，13133n n n -->- ，∴11122131333n n n n n a --=<=--，∴当1n =时，11312

a =<成立，当2n 时，211211()11111131331(1133323213

n n n n a a a --++⋯+<+++⋯+==-<-．∴对n N +∈时，1211132

n a a a ++⋯+<．24．（2014•安徽）数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈．（Ⅰ）证明：数列{}n a n

是等差数列；

（Ⅱ）设3n n b ={}n b 的前n 项和n S ．证明（Ⅰ）1(1)(1)n n na n a n n +=+++ ，

∴

111n n a a n n +=++，∴111n n a a n n

+-=+，∴数列{}n a n

是以1为首项，以1为公差的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

1(1)1n a n n n =+-= ，∴2n a n =，33n n

n b n == ，∴231132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-+ ①23413132333(1)33n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+ ②①-②得2323333n S -=+++⋯+13n n n +- 1133313n n n ++-=-- 1123322n n +-=- ∴1213344

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