1.3 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
一、填空题
1．已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tan x＝________.
解析 由cos(π＋x)＝－cos x＝，得cos x＝－＜0，所以x∈.
此时sin x＝－，故tan x＝.
答案
2. 已知f(cosx)=cos2x,则f(sin75)= .
解析 ∵sin75=sin(90-15)=cos15,
∴f(sin75)=f(cos15)=cos)=cos30.
答案
3．设tan(5π＋α)＝m，则的值为________．
解析 ∵
＝
＝＝
＝＝，又tan(5π＋α)＝m，
∴tan(π＋α)＝m，tan α＝m，
∴原式＝.
答案
4．若tanα＝2，则的值是________．
解析 原式分子与分母同除以cosα得：＝＝－.
答案 －
5．已知cos＝，则sin＝________.
解析 sin＝sin
＝－sin＝－cos＝－.
答案 －
6．已知cos(π－α)＝，α∈，则tan α＝________.
解析 cos(π－α)＝－cos α＝，即cos α＝－.
又α∈，∴sin α＜0.
所以sin α＝－＝－.
故tan α＝＝.
答案
7．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值是________．
解析 1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2＝，
又∵＜α＜，sin α＞cos α.∴cos α－sin α＝－.
答案 －
8．若x∈，则2tan x＋tan的最小值为________．
解析 因为x∈，所以tan x>0.
所以2tan x＋tan＝2tan x＋≥2，所以2tan x＋tan的最小值为2.
答案 2
9．已知sin x＋sin y＝，则sin y－cos2x的最大值为________．
解析 因为sin x＋sin y＝，所以sin y＝－sin x.
又－1≤sin y≤1，所以－1≤－sin x≤1，得－≤sin x≤1.
因此，sin y－cos2x＝－sin x－(1－sin2x)
＝－－sin x＋sin2x
＝2－，
所以当sin x＝－时，sin y－cos2x取最大值.
答案
10．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin2°＝________.
解析 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin2°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋2＋…＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋
＝44＋＝.
答案
11．已知2tan α·sin α＝3，－＜α＜0，则cos的值是________．
解析 依题意得＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0，
解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)．又－＜α＜0，因此α＝－，
故cos＝cos＝cos＝0.
答案 0
12．设α∈，sin α＋cos α＝，则tan α＝________.
解析 将sin α＋cos α＝，①
两端平方得：sin αcos α＝，②
由①②得：或
又因为0＜α＜，所以sin α＜cos α，
所以，故tan α＝.
答案
13.化简: .
解析 原式
tantansinx.
答案 sinx
二、解答题
14．化简：
(1)；
(2)sin120°·cos330°＋sin(－690°)·cos(－660°)＋tan675°＋.
解析 (1)原式＝＝－＝－1.
(2)原式＝sin(180°－60°)·cos(360°－30°)＋sin(720°－690°)·cos(720°－660°)＋tan(720°－45°)＋
＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＋tan(－45°)＋1＝1.
15.设f(cosx)=cos5x.
求:(1)f(cos;;(3)f(sinx).
解析 (1)在原式中,令得f(coscos
=cos(cos.
(2)∵cos
∴在原函数式中,令得
coscoscos(2cos.
(3)∵sinx=cos
∴用代原函数式中的x,得
f(sinx)=f，求f(x)的值域；
(2)若x∈，且sin 2x＝，求f(x)的值．
解析 (1)f(x)＝sin x＋cos x＝sin.因为x∈，
所以x＋∈，
所以－≤sin≤1，所以f(x)的值域为．
(2)因为2＝(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x＝1＋sin 2x＝，
且f(x)＞0，所以f(x)＝.
18．已知－＜x＜0，sin x＋cos x＝.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
思路分析 (思路一)：由已知条件与平方关系联立方程组求解；(思路二)：先求sin x－cos x再与已知条件联立方程组求解．
解析 (1)法一 联立方程，得
由①得sin x＝－将其代入②，整理得
25cos2x－5cos x－12＝0.
因为－＜x＜0，所以
所以sin x－cos x＝－.
法二 由sin x＋cos x＝，
得(sin x＋cos x)2＝2，
即1＋2sin xcos x＝，
所以2sin xcos x＝－.
因为(sin x－cos x)2＝sin2x－2sin xcos x＋cos2x
＝1－2sin xcos x＝1＋＝①
且－＜x＜0，所以sin x＜0，cos x＞0，
所以sin x－cos x＜0.②
由①②可知，sin x－cos x＝－.
(2)由已知条件及(1)可知
解得
所以tan x＝－.
所以＝＝
＝＝.
【点评】 要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要构造方程来解决，在平时的学习中应该不断积累用方程的思想解题的方法.
