已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ，且∠EAF ﹦45° 结论1：BE ﹢DF ﹦EF 结论2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3：AH ﹦AD

结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2

结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9：四点共圆

结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论11：MN ﹦EF （可由相似得到）

结论12：S △AEF ﹦2S △AMN （可由相似的性质得到） 结论5的证明：

设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3

﹦1﹣x ﹣y ﹣(1﹣x)(1﹣y) ﹦﹣xy

所以当x ﹦y 时，△AEF 的面积最小

结论6的证明：

∴DN﹦BN′

易证△AMN≌△AMN′

∴MN﹦MN′

在Rt△BMN′中，由勾股定理可得：

BM2﹢BN′2﹦MN′2

即BM2﹢DN2﹦MN2

结论7的所有相似三角形：

△AMN∽△DFN △AMN∽△BME△AMN∽△BAN△AMN∽△DMA△AMN∽△AFE 结论8的证明：

因为△AMN∽△AFE

∴∠3＝∠2

因为△AMN∽△BAN

∴∠3＝∠4

∴∠2＝∠4

因为AB∥CD

∴∠1＝∠4

∴∠1＝∠2

结论9的证明：

因为∠EAN ﹦∠EBN ＝45° ∴A 、B 、E 、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角） 同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆

**必会结论-------- 图形研究正方形半角模型

已知：正方形ABCD ，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且

︒=∠45EAF ，AE 、AF 分别交BD 于H 、G ，连EF .

一、全等关系

（1）求证：①EF BE DF =+；②DG 2﹢BH 2﹦HG 2；③AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠. 二、相似关系

（2）求证：①DG CE 2=；②BH CF 2=；③HG EF 2=. （3）求证：④DH BG AB ⋅=2；⑤HG BG AG ⋅=2；⑥2

1=⋅CF DF CE BE . 三、垂直关系

（4）求证：①EG AG ⊥；②FH AH ⊥；③BE

AB HCF =∠tan . （5)、和差关系

求证：①BE DG BG 2=-；②DH DF AD 2=+； ③||2||DG BH DF BE -=-.

CB、DC的延长线上移动，

①.试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系.

②.求证：AB=AH.

例2、在四边形ABCD中，∠B+∠D﹦180°，AB=AD，若E、F分别

在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.

求证：∠EAF＝∠BAD

例3、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=120°，若BD=5，

CE=8，求DE的长。

例4、请阅读下列材料：

已知：如图1在Rt ABC

DAE

=，点D、E分别为线段BC上两动点，若45

∠=︒．探

BAC

∆中，90

∠=︒，AB AC

究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把AEC

∆，连结E D'，

∆绕点A顺时针旋转90︒，得到ABE'

使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变请说明你的猜想并给予证明．

图1

A

B

C

D

E

图2

A

B C

D

E

例5、探究：

（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；

（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=2

1

∠BAD ”，则（1）问中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化若变化，请给出结论并予以证明..

练习巩固1：

如图，在四边形ABCD 中，∠B ﹦∠D ﹦90°，AB ﹦AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD . 求证：EF=BE +DF.

练习巩固2：

如图，在五边形ABCDE 中，AB ﹦BC ﹦CD ﹦DE ﹦EA ， ∠CAD ＝∠BAE ，求∠BAE 的度数

练习巩固3：

已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．

（1）如图1，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠ 绕点A 旋转到

BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系请写出你的猜想，并证明．

N

M

D

C

B

A

N

M

C

D

B

A

N

M D C

B

A

练习巩固4

(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ﹦AD ，∠B ﹦∠D ﹦90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ． 求证：EF BE FD =+;

E

F

D

C

B

A

v1.0 可编辑可修改

(2) 如图在四边形ABCD 中，AB ﹦AD ，∠B ﹢∠D ﹦180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立不用证明．

E

F

D C

B

A

(3) 如图，在四边形ABCD 中，AB ﹦AD ，∠B ﹢∠ADC ﹦180°，E 、F 分

别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并

证明．

E

F D

C

B

A

（4）如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠（点E 、F 分别在边AB 、CD 上），使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连接EP ． （1）如图②，若M 为AD 边的中点，

①△AEM 的周长﹦ cm ；

②求证：EP ﹦AE ﹢DP ；

（2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化请说明理由．

（5）.如图17，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． （1）若∠EAF ﹦45º．求证：EF ﹦BE ﹢DF ．

（2）若△AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF ﹦45º，问⊿CEF 的周长是否随△AEF 位置的变化而变化

（3）已知正方形ABCD 的边长为1，如果⊿CEF 的周长为2．求∠EAF 的度数．

F

E D

C

B

A

图17

练习巩固5、

如图，已知在正方形ABCD 中，∠MAN ﹦45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。 求证：（1）MN ﹦MB ﹢DN ；

（2）点A 到MN 的距离等于正方形的边长； （3）CMN 的周长等于正方形ABCD 边长的2倍； （4）

=

ABCD CMN S 2AB

S MN

； （5）若∠MAB ﹦20°，求∠AMN ； （6）若(

)

∠=ααMAB 0

45，求∠AMN ；

（7）=+222EF EB DF ；

（8）AEN 与AFM 是等腰三角形； （9）

=

AEF AMN

S 1S

2

。 练习巩固6、

在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，

120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，

分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．

图①

M N

D

C

B

A

图②

M N

D C

B

A N

图③M

D C

B

A

（1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，之间的数量关系式_________；此时

Q

L

=__________ （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗写出你的

猜想并加以证明；

（3）如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________(用x L ，表示) 练习巩固7、

如图所示，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的∠MDN ，点M ，N 分别在AB ，AC 上，求△AMN 的周长

练习巩固8、

如图，在正方形ABCD 中，BE=3，EF ﹦5，DF ﹦4，求∠BAE ﹢∠DCF 为多少度。

巩固练习9、

如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB﹦∠F﹦90°，∠A﹦∠E﹦30°。△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转，DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ．

(1)①如图2、图3，当∠CDF ﹦0° 或60°时，AM ﹢CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)． ②如图4，当∠CDF ﹦30° 时，AM ﹢CK___MK(只填“>”或“<”)．

(2)猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ﹢CK_______MK ，证明你所得到的结论． (3)如果222AM CK MK =+，请直接写出∠CDF 的度数和AM

MK 的值．下载本文