第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
若数列{an}满足a1=1，a2=1，an= an－1+ an－2，则 a n= [（）n－（）n]
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知E、F、G、H是空间四点，设命题甲：点E、F、G、H不共面；命题乙：直线EF与GH不相交，那么甲是乙的 （ ）
A．分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
2．平面内有4个红点和6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任意三点不共线，则过这10个点中的两点所确定的直线中，至少过一个红点的直线的条数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
3．某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。如果A、B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市（A、B两城市可以不相邻），则有不同的游览线路 （ ）
A．120种 B．240种 C．480种 D．600种
4. 三位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2位同学上了同一车厢的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是p，则供电网络中一天 平均用电的单位个数是 （ ）
A．np(1－p) B．np C．n D．p(1－p)
6．若0为平行四边形ABCD的中心，等于 （ ）
A． B． C． D．
7．若e， e，且，则四边形ABCD是 （ ）
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
8．以正方体的顶点为顶点作正四面体，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）
A．3:1 B． C． D．
9．地球半径为R，A、B两地均在北纬45°圈上，两地的球面距离为，则A、B两地的经度之差的绝对值为 （ ）
A． B． C． D．
10．若S = (x-1)4 + 4(x-1)3 + 6(x-1)2 + 4(x-1) + 1，则S化简后得 （ ）
A．x4 B．(x-2)4 C．x4 + 1 D．x4 -1
11．有一空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直至
把容器注满。在注水过程中水面的高度曲线如右图所示，
其中PQ为一线段，则与此图相对应的容器的形状是（ ）
A． B． C． D．
12．四面体A—BCD中，，其余棱长均为1，则二面角A—BC—D的大小是
（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。将正确答案填在题中横线上
13．在
14．小明通过英语四级测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有一次获得通过的概率 _.
15．一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆）：
●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○
若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2003个圆中，有 个空心圆．
16．在杨辉三角的斜线中，
C
C C
C C C
C C C C
C C C C C
… … … …
每条斜线上的数字之和构造数列C，C，C+ C，C+ C，C+ C+ C，…，
这个数列的第n项为 （用n的表达式表示）。
三、解答题：本大题共6小题，满分74分．
17．（本题满分12分）有6名同学站成一排，求：
（１）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法：
（２）甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法：
（３）甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法.
18．（本题满分12分） 如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4，E、F分别是棱AB，BC的中点，EF与BD相交于G．
（１）求证：B1EF⊥平面BDD1B1；
（２）求点D1到平面B1EF的距离d；
（３）求三棱锥B1—EFD1的体积V.
19．（本题满分12分）如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.
20．（本小题满分12分）一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是m（0＜m＜1如图，有如下三种联接方法：
① ② ③
（１）分别求出这三种电路各自接通的概率；
（２）试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论.
21．（本题满分12分）抛一枚均匀硬币，正面或反面出现的概率都是，反复这样的投掷，数列{an}定义如下：
第n次投掷出现正面
第n次投掷出现反面
投Sn=a1+a2… 试分别求满足下列各条件的概率：
（1）S8=2；
（2）S2≠0，且S8=2
22．（本小题满分14分）如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面ABB1A1是
∠A1AB=60°的菱形，且平面ABB1A1⊥ABC，M是A1B1上的动点.
（1）当M为A1B1的中点时，求证：BM⊥AC；
（2）试求二面角A1－BM－C的平面角最小时三棱锥M－A1CB的体积.
高二（下）期末数学试卷答案
一 择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分).
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | A | C | D | D | B | B | C | B | B | A | C | D |
3解：
4解：3人上火车的方式即基本事件的总数有10×10×10=个，仅有两人上了同一节车厢另一人上了别的车厢的方式有种，3人上了同一节车厢的方式有种，则至少有2位同学上了同一车厢的概率为.
11解：从注水过程中水面的高度曲线可看出，下方应为圆台型，设圆台的高度为h, 注满下方圆台型容器的时间为T, 当时间为T/2时，水面高度没有大到h/2. 上方为圆柱形．
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．10 14. 15. 446 16. [（）n－（）n]
15解：∵2003=27×74+5，∴在前2003个圆中，有74×6+2=446个空心圆．
三．解答题：本大题共6小题，满分74分．
17. 解：（1）种；…………………………………………………4分
（2）种；
或（甲在尾）+（甲不在尾）=120+384=504；
或； …………………………………………8分
（3）种． …………………………………………12分
18. 证：（1）EF//AC， EF⊥BD ， EF⊥BB1 ，
可知EF⊥平面BDD1B1， …………2分
又EF面B1EF，
． …………４分
（2）在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H，易证D1H⊥面B1EF
在 …………6分
19. 解：分别记元件A、B、C正常工作的事件A、B、C， …………2分
由题设得：
P1 =P（A·B·C）= P（A）·P（B）·P（C） …………………………4分
= 0.8×0.9×0.9=0.8
∴系统N1正常工作的概率为0.8 ……………………………6分
P2 = P（A）·[1－P（ ………………………9分
= 0.80×(1－0.10×0.10) = 0.80×0.99 = 0.792 ………………………11分
∴系统N2正常工作的概率为0.792. ……………………………………12分
20．解：（1）三种电路各自接通分别记为事件A1、A2、A3，则
P（A1）=m3…………3分
P（A2）=1－（1－m）3=3m－3m2+m3………6分
P（A3）=2（1－m）m2+m3=2m2－m3……9分
（2）P（A2）－P（A1）=3m－3m2=3m（1－m）
∵0＜m＜1 ∴P（A2）＞P（A1）………10分
P（A2）－P（A3）=2m3－5m2+3m=m（2m－3）（m－1）＞0
∴P（A2）＞P（A3）…11分
故三个电子元件并联接通的概率最大，性能最优………………12分
21．解：（1）当S8=2时，在次试验中，正面是5次，反面是3次，共有种可能，因此，概率为或 ……５分
（2）当S2≠0即=1，S2=2或=－1时S2=－2，
当S2=2时，S8－S2=0，即从第3次开始的6次中，正面出现5次，反面出现3次，因此这种情况共有种 ……８分
当S2=－2时，S8=2，S8－S2=4，即从第3次开始的6次中，正面出现5次，反面出现1次，因此这种情况共有种，而任意投掷一枚硬币，有两种可能，反复投8次，共有28种可能．
故概率为 …………１２分
22．解：（1）∵ABB1A1是菱形，∠A1AB=60°，且M为A1B1的中点，
∴BM⊥A1B1， …………２分
又A1B1∥AB，∴MB⊥AB.平面ABB1A1⊥平面ABC，
∴MB⊥平面ABC.
又AC平面ABC，∴BM⊥AC． …………6分
（2）作CN⊥AB于N，由于△ABC为正三角形，知N为AB为中点，又平面ABB1A1⊥平面ABC，∵CN⊥平面A1ABB1，作NE⊥MB于E点，连CE，由三垂线定理可知CE⊥BM，
∴∠NEC为二面角A1—BM—C的平面角．………9分
由题意可知CN=，在Rt△CNE中，要∠NEC最小，只要NE取最大值．
又∵△A1B1B为正三角形，∴当M为A1B1中点时，MB⊥平面ABC，即E与B重合．
此时NE取最大值且最大值为1，∴．
∴∠NEC的最小值为60°， ……10分
此时． ……14分
