一．选择题

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．在中，分式的个数为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

3．下列各式，从左到右变形是因式分解的是（　　）

A．a（a+2b）＝a2+2ab    B．x﹣1＝x（1﹣）    

C．x2+5x+4＝x（x+5）+4    D．4﹣m2＝（2+m）（2﹣m）

4．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为10，则AB的长为（　　）

A．2    B．2.5    C．3    D．3.5

5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC    B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD    

C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC    D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB

6．将点A（2，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度后得到的点A′的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣6）    B．（2，﹣6）    C．（﹣1，﹣3）    D．（5，﹣3）

7．如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　）

A．4    B．5    C．3    D．4

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为（　　）

A．    B．4    C．2    D．5

9．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是（　　）

A．矩形    

B．正方形    

C．对角线互相垂直的四边形    

D．对角线互相垂直且相等的四边形

10．若把分式中的x与y都扩大3倍，则所得分式的值（　　）

A．缩小为原来的    B．缩小为原来的    

C．扩大为原来的3倍    D．不变

11．若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（　　）

A．n＝6    B．n＝7    C．n＝8    D．n＝9

12．已知：如图，D、E、F分别是△ABC的三边的延长线上一点，且AB＝BF，BC＝CD，AC＝AE，S△ABC＝5cm2，则S△DEF的值是（　　）

A．15cm2    B．20cm2    C．30cm2    D．35cm2

二．填空题

13．若分式的值为零，则x＝　   　．

14．已知x+y＝8，xy＝2，则x2y+xy2＝　   　．

15．若，则代数式的值是　               　．

16．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，点E、F分别为AC、AB的中点，则EF＝　    　．

17．若一个菱形的周长为200cm，一条对角线长为60cm，则它的面积为　        　．

18．如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（5，0），点C的坐标是（1，3），则点B的坐标是　      　．

三．解答题

19．分解因式：

（1）﹣3a2+6ab﹣3b2；

（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．

20．先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x＝．

21．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，求证：DE＝BF．

22．解方程：

（1）＝；

（2）＝+1．

23．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．

（1）请直接写出点A关于点O对称的点的坐标　       　；

（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，画出图形，并直接写出点A1、B1、C1的坐标．

24．某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：

（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？

（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？

（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，A种，B种书包各有几个？

25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．

26．中国古贤常说万物皆自然．而古希腊学者说万物皆数．小学我们就接触了自然数，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、质数、合数等，今天我们来研究另一种特殊的自然数﹣﹣“欢喜数”．

定义：对于一个各数位不为零的自然数，如果它正好等于各数位数字的和的整数倍，我们就说这个自然数是一个“欢喜数”．

例如：24是一个“欢喜数”，因为24＝4×（2+4），125就不是一个“欢喜数”因为1+2+5＝8，125不是8的整数倍．

（1）判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；

（2）有一类“欢喜数”，它等于各数位数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”．

27．如图，在边长为a的正方形ABCD中，作∠ACD的平分线交AD于F，过F作直线AC的垂线交AC于P，交CD的延长线于Q，又过P作AD的平行线与直线CF交于点E，连接DE，AE，PD，PB．

（1）求AC，DQ的长；

（2）四边形DFPE是菱形吗？为什么？

（3）探究线段DQ，DP，EF之间的数量关系，并证明探究结论；

（4）探究线段PB与AE之间的数量关系与位置关系，并证明探究结论．

四．填空题

28．若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为　        　．

29．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线AP交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，则正方形ABCD的面积为　              　．

30．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

参与试题解析

一．选择题

1．解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；

B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

故选：A．

2．解：在所列代数式中，分式有，，共2个，

故选：B．

3．解：A．从左边到右边变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

B．等式的右边不是整式积的形式是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

C．从左边到右边变形不是因式分解，故本选项不符合题意；

D．从左边到右边变形是因式分解，故本选项符合题意；

故选：D．

4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，

∴BC+CD＝10÷2＝5，

根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．

∴BC＝3，CD＝2，

∴AB＝CD＝2，

故选：A．

5．解：A、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，

又∠AOB＝∠COD，

∴△AOB≌△COD，

∴DO＝BO，

∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；

B、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；

C、∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠ADC+∠BAD＝180°，

∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；

D、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，

∴∠ADB＝∠CBD，

∴AD∥CB，

∵∠ABD＝∠BDC，

∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；

故选：B．

6．解：点A（2，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度后得到的点A′的坐标为（2﹣3，﹣3），

即（﹣1，﹣3），

故选：C．

7．解：连接AO，

∵四边形CDGH是矩形，

∴CG＝DH，OC＝CG，OD＝DH，

∴OC＝OD，

∵△ACD是等边三角形，

∴AC＝AD，∠CAD＝60°，

在△ACO和△ADO中，

，

∴△ACO≌△ADO（SSS），

∴∠OAB＝∠CAO＝30°，

∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，

∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，

∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，

∴OB＝AB＝×10＝5，

即OB的最小值为5．

故选：B．

8．解：根据旋转可知：

∠A′C′B＝∠C＝90°，A′C′＝AC＝4，AB＝A′B，

根据勾股定理，得AB＝＝＝5，

∴A′B＝AB＝5，

∴AC′＝AB﹣BC′＝2，

在Rt△AA′C′中，根据勾股定理，得

AA′＝＝＝2．

故选：C．

9．解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，

∴AC⊥BD，AC＝BD，

故选：D．

10．解：原式＝＝，

故选：A．

11．解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，

解得：n＝8，

故选：C．

12．解：连接AD，EB，FC，如图所示：

∵BC＝CD，三角形中线等分三角形的面积，

∴S△ABC＝S△ACD；

同理S△ADE＝S△ADC，

∴S△CDE＝2S△ABC；

同理可得：S△AEF＝2S△ABC，S△BFD＝2S△ABC，

∴S△EFD＝S△CDE+S△AEF+S△BFD+S△ABC＝2S△ABC+2S△ABC+2S△ABC+S△ABC＝7S△ABC；

故答案为：S△EFD＝7S△ABC＝7×5＝35cm2

故选：D．

二．填空题

13．解：由题意得：x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，

解得：x＝﹣1，

故答案为：﹣1．

14．解：∵x+y＝8，xy＝2，

∴x2y+xy2＝xy（x+y）

＝2×8

＝16．

故答案是：16．

15．解：∵，

∴设x＝2t，y＝3t，

∴＝＝＝﹣．

故答案为﹣．

16．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，

∴BC＝AB＝5，

∵点E、F分别为AC、AB的中点，

∴EF＝BC＝2.5，

故答案为：2.5．

17．解：已知AC＝60cm，菱形对角线互相垂直平分，

∴AO＝30cm，

又∵菱形ABCD周长为200cm，

∴AB＝50cm，

∴BO＝＝＝40cm，

∴AC＝2BO＝80cm，

∴菱形的面积为×60×80＝2400（cm2）．

故答案为：2400cm2．

18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝BC，OA∥BC，

∵A（5，0），

∴OA＝BC＝5，

∵C（1，3），

∴B（6，3），

故答案为（6，3）．

三．解答题

19．解：（1）原式＝﹣3（a2﹣2ab+b2）＝﹣3（a﹣b）2；

（2）原式＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．

20．解：原式＝÷

＝•

＝，

当x＝时，

原式＝

＝．

21．证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，

∴BO＝DO，AD∥BC，

∴∠EDO＝∠FBO，

在△DOE和△BOF中，

，

∴△DOE≌△BOF（ASA），

∴DE＝BF．

22．解：（1）去分母得：x+2＝4，

解得：x＝2，

经检验x＝2是增根，分式方程无解；

（2）去分母得：3x＝2x+3x+3，

解得：x＝﹣，

经检验x＝﹣是分式方程的解．

23．解：（1）点A关于点O对称的点的坐标为（2，﹣3）；

故答案为：（2，﹣3）

（2）如图，△A1B1C1即为所求，

A1（﹣3，﹣2），B1（0，﹣6），C1（0，﹣1）．

24．解：（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，

依题意得：＝2×，

解得：x＝70，

经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意，

∴x+20＝90．

答：每个A种书包的进价为70元，每个B种书包的进价为90元．

（2）设购进A种书包m个，则购进B种书包（2m+5）个，

依题意得：，

解得：18≤m≤20．

又∵m为整数，

∴m可以为18，19，20，

∴该商场有3种进货方案，

方案1：购进18个A种书包，41个B种书包；

方案2：购进19个A种书包，43个B种书包；

方案3：购进20个A种书包，45个B种书包．

（3）设该商场销售A，B两种书包获利w元，则w＝（90﹣70）m+（130﹣90）（2m+5）＝100m+200，

∵100＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m＝20时，w取得最大值，即购进20个A种书包，45个B种书包．

设赠送的书包中A种书包有a个，销售的A种书包中有b个样品，则赠送的书包中B种书包有（5﹣a）个，销售的B种书包中有（4﹣b）个样品，

依题意得：90（20﹣a﹣b）+90×0.5b+130[45﹣（5﹣a）﹣（4﹣b）]+130×0.5（4﹣b）﹣70×20﹣90×45＝1370，

整理得：2a+b＝4．

又∵a为非负整数，b为正整数，

∴当a＝0时，b＝4，此时4﹣b＝0不合题意，舍去；当a＝1，b＝2．

∴5﹣a＝4，4﹣b＝2，

∴赠送的书包中A种书包有1个，B种书包有4个，样品中A种书包有2个，B种书包有2个．

25．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC且AD＝BC，

∵BE＝CF，

∴BC＝EF，

∴AD＝EF，

∵AD∥EF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴四边形AEFD是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，

∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝90°，

∴OE＝AC＝OA＝2，AC＝2OE＝4，

∴OB＝＝＝3，

∴BD＝2OB＝6，

∵菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，

即×6×4＝13×AE，

解得：AE＝12．

26．解：（1）∵2+8＝10，28不是10的整数倍，

∴根据“欢喜数”的概念，28不是“欢喜数”；

∵1+3+5＝9，135＝15×9是9的倍数，

∴根据“欢喜数”的概念，135是“欢喜数”；

（2）①设这个数为一位数a，且a为自然数，a≠0，

根据题意可知a＝4a，

又a≠0，

∴这种情况不存在；

②设这个数为两位数，a，b为整数，

∴10a+b＝4（a+b），即b＝2a，

∴或或或，

∴这种欢喜数为12，24，36，48；

③设这个数为三位数，a，b，c为整数，

∴100a+10b+c＝4（a+b+c），

则96a+6b＝3c，

又a，b，c为0到9的整数，且a≥1，

∴这种情况不存在；

④设这个数为四位数，a，b，c，d为0到9的整数，且a≥1，

∴1000a+100b+10c+d＝4（a+b+c+d），

∴996a+96b+6c＝3d，

故没有0到9的整数a，b，c，d使等式成立，

由此类推，当这个数的位数不断增加时，更加无法满足等式，

∴当一个欢喜数等于各数位数字之和的4倍时，这个数为：12或24或36或48．

27．解：（1）AC＝，

∵CF平分∠BCD，FD⊥CD，FP⊥AC，

∴FD＝FP，又∠FDQ＝∠FPA，∠DFQ＝∠PFA，

∴△FDQ≌△FPA（ASA），

∴QD＝AP，

∵点P在正方形ABCD对角线AC上，

∴CD＝CP＝a，

∴QD＝AP＝AC﹣PC＝（）a；（2）∵FD＝FP，CD＝CP，

∴CF垂直平分DP，即DP⊥CF，

∴ED＝EP，则∠EDP＝∠EPD，

∵FD＝FP，

∴∠FDP＝∠FPD，

而EP∥DF，

∴∠EPD＝∠FDP，

∴∠FPD＝∠EPD，

∴∠EDP＝∠FPD，

∴DE∥PF，而EP∥DF，

∴四边形DFPE是平行四边形，

∵EF⊥DP，

∴四边形DFPE是菱形；

（3）DP2+EF2＝4QD2，理由是：

∵四边形DFPE是菱形，设DP与EF交于点G，

∴2DG＝DP，2GF＝EF，

∵∠ACD＝45°，FP⊥AC，

∴△PCQ为等腰直角三角形，

∴∠Q＝45°，

可得△QDF为等腰直角三角形，

∴QD＝DF，

在△DGF中，DG2+FG2＝DF2，

∴有（DP）2+（EF）2＝QD2，整理得：DP2+EF2＝4QD2；

（4）∵∠DFQ＝45°，DE∥FP，

∴∠EDF＝45°，

又∵DE＝DF＝DQ＝AP＝（）a，AD＝AB，∴△ADE≌BAP（SAS），

∴AE＝BP，∠EAD＝∠ABP，

延长BP，与AE交于点H，

∵∠HPA＝∠PAB+∠PBA＝∠PAB+∠DAE，

∠PAB+∠DAE+∠HAP＝90°，

∴∠HPA+∠HAP＝90°，

∴∠PHA＝90°，即BP⊥AE，

综上：BP与AE的关系是：垂直且相等．

四．填空题

28．解：＝2a，

去分母得：x﹣2a＝2a（x﹣3），

整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，

当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；

当1﹣2a≠0时，x＝＝3时，分式方程无解，则a＝1.5，

则a的值为0.5或1.5．

故答案为：0.5或1.5．

29．解：如图，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，连接BD，

在Rt△AEP中，AE＝AP＝1，

∴EP＝，

∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，

∴∠EAB＝∠PAD，

又∵AE＝AP，AB＝AD，

在△APD和△AEB中，

，

∴△APD≌△AEB（SAS），

∴∠APD＝∠AEB，

∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，

∴∠BEP＝∠PAE＝90°，

∴EB⊥ED，

又∵PB＝，

∴BE＝＝2，

∵AE＝AP，∠EAP＝90°，

∴∠AEP＝∠APE＝45°，

又∵EB⊥ED，BF⊥AF，

∴∠FEB＝∠FBE＝45°，

∴EF＝BF＝，

在Rt△ABF中，AB2＝（AE+EF）2+BF2＝5+2，

∴S正方形ABCD＝AB2＝5+2，

方法二：BD2＝BE2+DE2＝4+（+2）2＝10+4，

∴S正方形ABCD＝DB2＝5+2，

故答案为5+2．

30．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，

∵正方形ABCD，

∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，

∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，

∴四边形EMCN为正方形，

∵四边形DEFG是矩形，

∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，

∴∠DEN＝∠MEF，

又∠DNE＝∠FME＝90°，

在△DEN和△FEM中，，

∴△DEN≌△FEM（ASA），

∴ED＝EF，

∴矩形DEFG为正方形，

（2）CE+CG的值为定值，理由如下：

∵矩形DEFG为正方形，

∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDG，

在△ADE和△CDG中，，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE＝CG，

∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，

∴CE+CG＝8是定值．下载本文