《数学分析Ш》
期末试卷5 参及评分标准
一、判断题(正确的请在后边的括号内打“○”，错误的打“ ”，每小题 4 分，共 20 分)
1、× 2、× 3、 O 4、× 5、O
二、填空题(每小题4分，共 24 分)
1、定义域D={}； 2、；
3、； 4、=；
5、； 6、。
三、 计算题（每小题6分，共30分）
1、求在原点的二阶偏导数。
解： ………………………2分
…………………………………………4分
……………………6分
2、设，计算。
解：，， ………………………………3分
……………6分
3、
解：验证
在区域D=（）上连续。………………2分
则 …………………………4分
=4ln4-2ln3-1………………………………………………6分
4、计算，其中为三点A（1，0，0），B（0，1，0），C(0,0,1)构成的三角形。
解：三点A（1，0，0），B（0，1，0），C(0,0,1)构成的三角形的方程为………………2分
则 =。………………6分
5、，其中为球面的外侧。
解： =3………………3分
=3=3=……………………6分
四、应用题（每小题5分，共10分）
1、求球面与锥面围成的体积V。
解：联立方程得，………………2分
因此
V=。………5分
2、求曲面上与原点最近的点的坐标。
解：曲面上一点到原点距离为
……………………2分
＝……………………………………4分
故点是该曲面上与原点最近的点，其距离为1。……………………5分
五、证明题(每小题8分，共16分)
1、设函数=，证明在点不可微。
证明：
…………2分
………………………………………………4分
因此不存在。……8分
2、设为连续函数且
证明
证明：令则区域D化为区域：，； ；……………………………………2分
因此
………………………………5分
…………………………8分
附加题（10分）
设，，求在
的表达式。
解：将看成的函数，对原式求微分得
；（1）
。（2）……………………3分
将点，代入可得
，…………………………6分
再对（1）（2）微分，代入值得
…………………………10分
