一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分）
1．下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．等边三角形 C．平行四边形 D．线段
2．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（2015云南）不等式2x﹣6＞0的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜3
4．化简+的结果是（ ）
A．x B．x﹣1 C．﹣x D．x+1
5．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A．﹣m2+n2 B．a2﹣2ab﹣b2 C．m2+n2 D．﹣a2﹣b2
6．把分式，，进行通分，它们的最简公分母是（ ）
A．x﹣y B．x+y C．x2﹣y2 D．（x2﹣y2）
7．一个平行四边形的两条对角线的长分别为8和10，则这个平行四边形边长不可能是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
8．下列语句：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式有意义的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．8
10．如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
11．如图，已知直线y1=x+a与y2=kx+b相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+a＞kx+b的解集正确的是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＜﹣1
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
13．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（ ）
A．24° B．30° C．32° D．36°
14．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A．3cm B．6cm C． cm D． cm
15．如图，已知▱ABCD中，点M是BC的中点，且AM=6，BD=12，AD=4，则该平行四边形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
16．分解因式：2m3﹣8m= ．
17．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 cm．
18．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD于E，若OE=3cm，则AD的长为 ．
19．已知关于x的方式方程=2﹣会产生增根，则m= ．
20．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′= ．
21．对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b=，若2⊕（2x﹣1）=1，则x的值为 ．
三、解答题（本题共7个小题，请写出必要的步骤）
22．分解因式：x（x﹣y）﹣y（y﹣x）
（2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
23．（2016春商河县期末）先化简：（﹣1）÷，再0，1，2，﹣1中选择一个恰当的x值代入求值．
24．求证：CF=CD；
（2）若AF平分∠BAD，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由．
25．，B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点B关于点A对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
26．求第一次每个笔记本的进价是多少？
（2）若要求这两次购进的笔记本按同一价格全部销售完毕后后获利不低于460元，问每个笔记本至少是多少元？
27．求证：BF=2AD；
（2）若CE=，求AC的长．
28．△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．
（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；
（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；
（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
2018-2019学年广东省广州市海珠区八年级（下）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分）
1．下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．等边三角形 C．平行四边形 D．线段
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x+1），
x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．
故选：A．
【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
3．不等式2x﹣6＞0的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜3
【考点】解一元一次不等式．
【分析】利用不等式的基本性质：移项，系数化1来解答．
【解答】解：移项得，2x＞6，
两边同时除以2得，x＞3．
故选C．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
4．化简+的结果是（ ）
A．x B．x﹣1 C．﹣x D．x+1
【考点】分式的加减法．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣==x，
故选A
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A．﹣m2+n2 B．a2﹣2ab﹣b2 C．m2+n2 D．﹣a2﹣b2
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：﹣m2+n2=（n+m）（n﹣m），
故选A．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．把分式，，进行通分，它们的最简公分母是（ ）
A．x﹣y B．x+y C．x2﹣y2 D．（x2﹣y2）
【考点】最简公分母．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式，，的分母分别是（x﹣y）、（x+y）、．
则最简公分母是=x2﹣y2．
故选：C．
【点评】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
7．一个平行四边形的两条对角线的长分别为8和10，则这个平行四边形边长不可能是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分和三角形三边关系可求得平行四边形边长的取值范围，可求得答案．
【解答】解：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC=8，BD=10，且交于点O，
则AO=AC=4，BO=DO=BD=5，
∴5﹣4＜AB＜5+4，5﹣4＜AD＜5+4，
即1＜AB＜9，1＜AD＜9，
故平行四边形的边长不可能为10．
故选D．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质和三角形三边关系，由三角形三边关系求得平行四边形边长的取值范围是解题的关键．
8．下列语句：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式有意义的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题与定理．
【分析】根据多边形的外角，反证法的定义，等腰三角形的性质与判定，分式有意义的条件，进行逐一判定分析，即可解答．
【解答】解：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形，正确；
②“反证法”就是从反面的角度思考问题的证明方法，故错误；
③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形为等腰三角形，是真命题，正确；
④分式有意义的条件是分母不为零，故错误；
正确的有2个．
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了反证法．
9．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．8
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意
（n﹣2）180°=360°，
解得n=4．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
10．如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AC、AB、CB的长度关系即可解答．
【解答】解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴ED、FE、DF为△ABC中位线，
∴DF=AC，FE=AB，DE=BC；
∴DF+FE+DE=AC+AB+BC=（AC+BA+CB）=×（6+7+5）=9．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的基本思路．
11．如图，已知直线y1=x+a与y2=kx+b相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+a＞kx+b的解集正确的是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＜﹣1
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】根据观察图象，找出直线y1=x+a在直线y2=kx+b上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＞﹣1时，x+a＞kx+b，
所以不等式x+a＞kx+b的解集为x＞﹣1．
故选B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移．
【分析】根据平移的性质知BB′=AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．
【解答】解：如图，连接AA′、BB′．
∵点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，
∴点A′的纵坐标是3．
又∵点A的对应点在直线y=x上一点，
∴3=x，解得x=4．
∴点A′的坐标是（4，3），
∴AA′=4．
∴根据平移的性质知BB′=AA′=4．
故选C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．根据平移的性质得到BB′=AA′是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（ ）
A．24° B．30° C．32° D．36°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由EF是BC的垂直平分线，得到BE=CE，根据等腰三角形的性质得到∠EBC=∠ECB，由BD是∠ABC的平分线，得到∠ABD=∠CBD，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠DBC=∠ECB，
∵∠BAC=60°，∠ACE=24°，
∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=（180°﹣60°﹣24°）=32°．
故选C．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
14．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A．3cm B．6cm C． cm D． cm
【考点】含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD=3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB=AC=6，
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，
∴BC=6，
故选：D．
【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边．
15．如图，已知▱ABCD中，点M是BC的中点，且AM=6，BD=12，AD=4，则该平行四边形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质，可得△BOM∽△AOD，可得出OB⊥OM，进而可求解其面积．
【解答】解：AM、BD相交于点O，
在平行四边形ABCD中，可得△BOM∽△AOD，
∵点M是BC的中点，即=，、
∴==，
∵AM=6，BD=12，
∴OM=2，OB=4，
在△BOM中，22+42=，
∴OB⊥OM
∴S△ABD=BDOA
=×12×4=24，
∴SABCD=2S△ABD=48．
故选C．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，能够运用相似三角形求解一些简单的计算问题．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
16．分解因式：2m3﹣8m= 2m（m+2）（m﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
【解答】解：2m3﹣8m=2m（m2﹣4）
=2m（m+2）（m﹣2）．
故答案为：2m（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 6 cm．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据中垂线的性质，可得DC=DB，继而可确定△ABD的周长．
【解答】解：∵l垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．
故答案为：6．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
18．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD于E，若OE=3cm，则AD的长为 6cm ．
【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．
【分析】由平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，OE∥BC，可得OE是△ACD的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得AD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∵OE∥BC，
∴OE∥AD，
∴OE是△ACD的中位线，
∵OE=3cm，
∴AD=2OE=2×3=6（cm）．
故答案为：6cm．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
19．已知关于x的方式方程=2﹣会产生增根，则m= ﹣1 ．
【考点】分式方程的增根．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：x﹣3=2x﹣4+m，
由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程得：m=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′= 30° ．
【考点】旋转的性质．
【分析】首先证明∠ACC′=∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′=30°即可解决问题．
【解答】解：由题意得：
AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C；
∵CC′∥AB，且∠BAC=75°，
∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，
∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°；
由题意知：∠BAB′=∠CAC′=30°，
故答案为30°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，得出AC=AC′，∠BAC=∠ACC′=75°是解题关键．
21．对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b=，若2⊕（2x﹣1）=1，则x的值为 ．
【考点】解分式方程．
【分析】先根据规定运算把方程转化为一般形式，然后把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．
【解答】解：2⊕（2x﹣1）=1可化为﹣=1，
方程两边都乘以2（2x﹣1）得，2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1），
解得x=，
检验：当x=时，2（2x﹣1）=2（2×﹣1）=≠0，
所以，x=是原分式方程的解，
即x的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
22．分解因式：x（x﹣y）﹣y（y﹣x）
（2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
【考点】因式分解-提公因式法；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【分析】（1）根据提公因式法，可分解因式；
（2）根据解不等式，可得每个不等式的解集，根据不等式组的解集是不等式的公共部分，可得答案．
【解答】解：（1）原式=（x﹣y）（x+y）；
（2）解不等式①1，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤3，
把不等式①②在数轴上表示如图
，
不等式组的解集是﹣2＜x≤3．
【点评】本题考查了因式分解，确定公因式（x﹣y）是解题关键．
23．（2016春商河县期末）先化简：（﹣1）÷，再0，1，2，﹣1中选择一个恰当的x值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再因式分解，约分即可得出答案．
【解答】解：原式=
=﹣（x﹣1）
=1﹣x，
∵x≠﹣1，1，0，
∴x=2，
∴原式=1﹣2=﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的约分、通分是解题的关键．
24．求证：CF=CD；
（2）若AF平分∠BAD，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得到AB∥CD，从而可得到AB∥DF，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点E是BC的中点，从而可根据AAS来判定△BAE≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等可证得AB=CF，进而得出CF=CD；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出AE=EF，再利用角平分线的性质以及等角对等边求出DA=DF，利用等腰三角形的性质求出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
则在△BAE和△CFE中，
，
∴△BAE≌△CFE（AAS），
∴AB=CF，
∴CF=CD；
（2）解：DE⊥AF，
理由：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵∠BAF=∠F，
∴∠DAF=∠F，
∴DA=DF，
又由（1）知△BAE≌△CFE，
∴AE=EF，
∴DE⊥AF．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明线段相等的常用方法是证明三角形全等．
25．，B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点B关于点A对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【考点】作图-旋转变换．
【分析】（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）；
（2）分别作出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后的点，然后顺次连接，并写出点B的对应点的坐标；
（3）分别以AB、BC、AC为对角线，写出第四个顶点D的坐标．
【解答】解：（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）；
（2）所作图形如图所示：
，
点B'的坐标为：（0，﹣6）；
（3）当以AB为对角线时，点D坐标为（﹣7，3）；
当以AC为对角线时，点D坐标为（3，3）；
当以BC为对角线时，点D坐标为（﹣5，﹣3）．
【点评】本题考查了根据旋转变换作图，轴对称的性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
26．求第一次每个笔记本的进价是多少？
（2）若要求这两次购进的笔记本按同一价格全部销售完毕后后获利不低于460元，问每个笔记本至少是多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设第一次每个笔记本的进价为x元，然后根据第二次又用400元购进该种型号的笔记本数量比第一次少20个列方程求解即可；
（2）设每个笔记本售价为y元，然后根据全部销售完毕后后获利不低于460元列不等式求解即可．
【解答】解：（1）设第一次每个笔记本的进价为x元．
依据题可得，
解这个方程得：x=4．
经检验，x=4是原方程的解．
故第一次每个笔记本的进价为4元．
（2）设每个笔记本售价为y元．
根据题意得：，
解得：y≥7．
所以每个笔记本得最低售价是7元．
【点评】本题主要考查的是分式方程和一元一次不等式的应用，找出题目的相等关系和不等关系是解题的关键．
27．求证：BF=2AD；
（2）若CE=，求AC的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AC=BC，∠FCB=∠ECA=90°，由于AC⊥BE，BD⊥AE，根据垂直的定义得到∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，由于∠CFB=∠AFD，于是得到∠CBF=∠CAE，证得△BCF≌△ACE，得出AE=BF，由于BE=BA，BD⊥AE，于是得到AD=ED，即AE=2AD，即可得到结论；
（2）由（1）知△BCF≌△ACE，推出CF=CE=，在Rt△CEF中，EF==2，由于BD⊥AE，AD=ED，求得AF=FE=2，于是结论即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∴∠FCB=∠ECA=90°，
∵AC⊥BE，BD⊥AE，
∴∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，
∵∠CFB=∠AFD，
∴∠CBF=∠CAE，
在△BCF与△ACE中，，
∴△BCF≌△ACE，
∴AE=BF，
∵BE=BA，BD⊥AE，
∴AD=ED，即AE=2AD，
∴BF=2AD；
（2）由（1）知△BCF≌△ACE，
∴CF=CE=，
∴在Rt△CEF中，EF==2，
∵BD⊥AE，AD=ED，
∴AF=FE=2，
∴AC=AF+CF=2+．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
28．△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．
（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；
（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；
（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．
【分析】（1）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC；
（2）四边形BCEF是平行四边形，因为△AFB≌△ADC，所以可得∠ABF=∠C=60°，进而证明∠ABF=∠BAC，则可得到FB∥AC，又BC∥EF，所以四边形BCEF是平行四边形；
（3）易证AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，可得∠FAB=∠DAC，即可证明△AFB≌△ADC；根据△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC，进而求得∠AFB=∠EAF，求得BF∥AE，又BC∥EF，从而证得四边形BCEF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
（2）由①得△AFB≌△ADC，
∴∠ABF=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABF=∠BAC，
∴FB∥AC，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（3）成立，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
∴∠AFB=∠ADC．
又∵∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，
∴∠ADC=∠EAF，
∴∠AFB=∠EAF，
∴BF∥AE，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握性质、定理是解题的关键．
