引例：“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做 (    )    

A．代入法      B．数形结合        C．换元法        D．分类讨论

Ⅰ．专题精讲：

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．

Ⅱ．典型例题剖析:

一、在数与式中的应用

1．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ＋＝________．

第1题                                第2题                                第3题

2．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简＋的结果是________．

3．实数p在数轴上的位置如图所示，化简－＝________．

4．

⑴ 请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：      B：      ；

⑵ 观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：               ；

⑶ 若将数轴折叠，使得A点与－2表示的点重合，则B点与数         表示的点重合； 

⑷ 若数轴上M、N两点之间的距离为2012(M在N的左侧)，且M、N两点经过(3)中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M:            N:           ．

5．如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．

(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为　　　　　 　cm．

(2)由题(1)的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题:

一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？

A              B    C              D

6. 数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位，点A，B，C，D分别表示整数a，b，c，d，

且d－2a＝10，则原点在（     ）的位置

    A. 点A                 B. 点B              C.点C             D.点D  

7. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（    ）

 A．13 = 3+10            B．25 = 9+16     

C．36 = 15+21          D．49 = 18+31

8. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有         个小圆．

…

9. 如上图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴_________根．

10. 如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n(n≥3) 块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn－1=     .

①               ②              ③             ④ 

11．在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)（如图1），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ）

   A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)；  

B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；

C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2； 

D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－b2

第12题                    第13题                      第14题                          第15题

12．如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（    ）

13．如图，已知图中每个小正方格的边长为1，则点C到AB所在直线的距离等于       ．

14．如图，一只蚂蚁在如图所示的图案内任意爬动一段时间后停下，蚂蚁停在阴影内的概率为           ．

第17题

15．如图,扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边长为1,则这个圆锥的底面半径为           ．

16. 下列四个三角形中，与右图中的三角形相似的是（   ）

17.如右上图图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以Ａ、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．

18．请阅读下列材料：

问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．

小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=．由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长．于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③所示的新正方形．

图④

图③

请你参考小东同学的做法，解决如下问题：

现有10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）

19． 如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8；设CD=x．

    (1)用含x的代数式表示AC+CE的长；

    (2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小?

(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式＋的最小值．    

二、在方程、不等式中的应用

1．已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则a的取值范围是___________．

2．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所解的二元一次方程组是                                          （    ）

A．         B．    C．         D．  

3．已知直线y1＝2x－1和y2＝－x－1的图象如图所示，根据图象填空．

⑴ 当x______时，y1＞y2；当x______时，y1=y2；当x______时，y1＜y2.

第2题                               第3题                                  第4题

⑵ 方程组的解是_____________.

4．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx+ m（k≠0）的图象相交于点 A（－2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是________．

三、在函数中的应用

1．如图所示，在反比例函数y＝ (k＞0）的图象上有三点A、B、C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴，y轴围成的面积分别为S1，S2，S3，则（  ）

   A．S1＞S2＞S3     B．S1＜S2 ＜S3   CS1＜S3＜S2      D．S1=S2 =S3

2．a，b，c是三角形的三条边，则关于x的一次函数y1＝(a＋b－c)x＋a2＋b2－c2－2ab的图象不经过第       象限．

3．若一次函数y＝(2－m)x＋m的图象经过第一、二、四象限时，m的取值范围是           .

4．若点P（1，a）和Q（－1， b）都在抛物线y＝－x2＋1上，则线段PQ的长是              .

5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B (3，0)，C(2，6)三点，与y轴的交点为D，则△ABD的面积为________.

6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若关于x的方程ax2＋bx＋c－k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______.                                下载本文