学员姓名： 年 级：高三 授课时间： 

1、考虑到每位老师安排进度不一，本教案例题与练习较多，本课可作一次课教案（需删减），亦可拆分为两次课时；

2、考虑到所带学生程度不一，故在具体的练习中加以星号“★”标示难度，具体老师可按难度不同进行适当删减；

3、教案所述【教学建议】仅供参考；

4、所属例题与相关练习部分优先选取历年一二模，高考题，具体标示在题中；

一、函数的图像与变换

【知识网络】

【教学建议】

通过后续知识讲解与例题分析让学生认识到画图只是基础与工具，更重要的是通过图像的识图与用图来解决实际问题．

（1）识图：能根据图像的左右、上下分布范围、变化的趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等．注意图像与解析式中参数的关系．

（2）用图：利用函数图像研究数量关系，如求参数的取值范围、判断方程根（或零点）的个数（或范围）等．

【知识梳理】

一、画图像的方法——描点法和图象变换法；

由函数解析式，用描点法作图像应①化简解析式；②分析函数的性质如：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等；③选算对应值，列表，描点，连线．

二、常见的图象变换有：平移、伸缩、对称、旋转等．

1、平移变换

；

；

2、伸缩变换：

．

【教学建议】在讲解平移与伸缩变换时，可举三角函数的图像变换实例予以说明．

3、对称变换：

（1）（即把换成）； 

（2）（即把换成）；

（3）（即把换成）；

（4）（即把换成）；

（5）（即把换成）；

（6）；

【教学建议】可先分析函数的奇偶性，易知其为偶函数，即图像关于轴对称，再对函数分段，发现当时其，从而易得图像的画法如上所述．

（7）；

*（8）

方法一：

方法二：

*（9）

【教学建议】（8）（9）两条变换是难点，也是重点分析内容，可举实例让学生自主探索，（如，画出，，等图像比较并自行探索分析）教师再总结归纳，综合例题巩固（如例1（4，6）与其同类变,3,4，5），让学生加深印象．

【典型例题】

例1、分别画出以下函数的图像：

（1）；    （2）；     （3）；

（4）    （5）   （6）

【答案】略

【同类变式1】

1、函数与函数交点的个数可能为_________；

【答案】0,2,3,4

2、若直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围是_________．

【答案】

3、（上海区县一模）用表示两数中的最小值，若函数的图像关于直线对称，则的值为（    ）

【答案】

【同类变式2】（上海区县二模）方程的解的个数为（    ）

 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8

【答案】B本题摘自2014年浦东二模 （理）18

【同类变式3】

（上海区县一模）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（     ）

A、            B、            C、            D、

【答案】C

【同类变式4】

已知函数，若，且，则       

【答案】2

【同类变式5】

（上海区县二模）已知且,函数在区间上既是奇函数又是增函数,则函数的图象是              

【答案】A解析：本题摘自2013年长宁、嘉定区高考二模数学（理）试题，先求出，再令，所求，故利用：

即得！

例2、（上海区县二模）设函数,将向左平移个单位得到函数,将向上平移个单位得到函数,若的图像恒在的图像的上方,求正数的取值范围？

【答案】本题摘于上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题

例3、（上海区县二模）设函数

(1)当,画出函数的图像,并求出函数的零点;

(2)设,且对任意,恒成立,求实数的取值范围．

【解析】 （2013届浦东二模卷理科题）(1),  画图正确  

当时,由,得,此时无实根; 当时,由,得,得. 所以函数的零点为  

(2)由<0得,. 

当时,取任意实数,不等式恒成立．  

当时,.令,则在上单调递增, 

∴;  

当时, ,令,  则在上单调递减,所以在上单调递减．∴       

例4、已知函数．

（1）证明：当且时，；

（2）若存在实数，使得函数上的值域为，求实数的取值范围．

【分析】当或时，均有，即函数的图像与的图像（如图所示）均有两个交点．

【解析】（1）因为，，所以，得

（2）①若，则是减函数，

矛盾

②若，则，不合；

③若，则是增函数，

．

④若，则是增函数，

综上，实数的取值范围是．

【教学建议】

本节内容较综合，故选取例题部分尽量顾虑到各种函数，如一次函数类（同类变式1中题3）二次函数类（例3），分式函数类（例4），指数函数（同类变式1）对数函数（同类变式3,4,5）等．可根据实际情况予以安排．

【课堂练习】

一、选择题

1．★★（上海区县二模）方程的解的个数为（  C  ）

 （A）2 ）4 （C）6 （D）8

【答案】C本题摘于2014年浦东二模 （文）18

2．★★定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，给出下列四个命题：

 （1）方程有且仅有三个解；

 （2）方程有且仅有三个解；

 （3）方程有且仅有九个解；

 （4）方程有且仅有一个解．

那么，其中正确命题的个数是（ ）

 （A）1（B）2（C）3（D）4

【答案】 B 

3．★（上海区县二模）函数的大致图像为   （   ）．

【答案】D. 本题摘自2009年静安区二模

4．★（上海区县二模）已知则下列函数的图像错误的是……………………（  ）

(A)的图像  (B)的图像  (C)的图像  (D)的图像

【答案】D（本题摘自宝山区2013届期末18.）

5．★★（上海区县一模）定义域为的函数有四个单调区间，

则实数满足（  ）

【答案】（虹口区2013届高三一模）17、C；   

二、填空题

6．★★（上海区县一模）已知，且函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是          ． 

【答案】  本题摘自黄浦区2013届高三一模

7．★（上海区县二模）定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间长度的最大值与最小值的差为        ．

【答案】3   本题摘自上海市十三校2011年高三第二次联考理科

8．★（上海区县二模）已知函数，若且，则的取值范围是               ．

【答案】本题摘自上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科

9．★★（上海区县二模）某同学对函数进行研究后，得出以下五个结论：

①函数的图象是中心对城图形；

②对任意实数，均成立；

③函数的图象与轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；

④函数的图象与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；

⑤当常数满足时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点．

其中所有正确结论的序号是             ．

【答案】①②④⑤(本题摘自上海市十三校2011年高三第二次联考理科)

10．★★★（上海区县二模）设定义域为的函数,若关于的方程有三个不同的实数解,则____________.

【答案】5（本题摘自上海宁、嘉定区2013年高考二模数学（理） ）

三、解答题

11．★（上海区县二模）设，. 

（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图像；

（2）若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】本题摘自上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科

（1）

（2）， 对于任意，  恒成立.

令，则（），对称轴，则当时，， 所以即可. 

12．★★★（上海区县一模）已知，函数．

（1）当时，写出函数的单调递增区间（不必证明）；

（2）当时，求函数在区间上的最小值；

（3）设，函数在区间上既有最小值又有最大值，请分别求出、的取值范围（用表示）．

【答案】本题摘自嘉定区2013届高三一模

（1）当时， ， 

所以，函数的单调递增区间是和． 

（2）因为，时，

．

当，即时，．

当，即时，． 

所以， ． 

（3）． 

①当时，函数的图像如图所示，

由解得，

所以，．

②当时，函数的图像如图所示，

由解得，

所以，．

13．★★(上海春季高考) 设函数.

（1）在区间上画出函数的图像；

（2）设集合.试判断集合和之间的关系，并给出证明；

（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.

【解析】（本题摘自2006年上海春季高考）：（1）

（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此

. 

由于

（3）【解法一】 当时，.

. 又，

①  当，即时，取，

 .

 ， 则. 

②  当，即时，取，＝.

 由 ①、②可知，当时，.

 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 

【解法二】当时，.

由得，

 令，解得或， 

在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点. 

如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.  

二、函数的周期性与对称性

【知识网络】

【知识梳理】

一、周期性

1、定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则也是的周期，所有周期中的最小正数叫最小正周期．

2、几种具有周期性的抽象函数：

1、函数自身的对称性

（1）轴对称

若函数满足，则的图像关于直线对称；

（由“的和一半”确定）．

特例：若函数满足，则的图像关于直线对称；若函数满足，则的图像关于直线（轴）对称；

（2）中心对称

若函数满足，则的图像关于点对称；

特例：若函数满足，则的图像关于点对称；

若函数满足，则的图像关于点（即原点）对称；

*拓展：若函数满足，则的图像关于点对称；

综上：可以看出“内同则周期，内反则对称” ．

2、不同函数之间的对称性

（1）轴对称

函数的图像关于直线对称（由相等求出即决定）．

特例：函数的图像关于直线对称．

（2）中心对称

函数的图像关于对称（由相等求出即决定）．

三、对称性与周期性

（1）若的图像关于直线、对称，则是周期函数，且周期；

特例：若是偶函数且其图像关于直线对称，则周期；

（2）若关于点对称，则是周期函数，且周期；

（3）若的图像关于直线、对称中心对称，则是周期函数，且周期；

特例：若是奇函数且其图像关于直线对称，则周期

综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数．

【教学建议】

以上的知识讲解比较抽象，建议一边利用抽象函数取相关点分析、证明，一边举实例予以说明，如在讲解“三、对称性与周期性”时可举函数的对称性验证说明：

其图像关于，对称，则周期；图像关于对称，则周期；图像关于对称，则周期

【典型例题】

例1、解决下列基础问题：

（1）（上海区县一模）定义在上的函数，且是奇函数，给出下列命题：①函数的最小正周期是2；②函数的图像关于点对称；③函数的图像关于轴对称．其中真命题是         （填入命题的编号）．

【答案】本题摘自2010年虹口一模14题，②③

（2）（上海区县二模）对于定义在R上的函数，有下述命题：

①若是奇函数，则的图像关于点A（1，0）对称；

②若函数的图像关于直线对称，则为偶函数；

③若对，有2是的一个周期；

④函数的图像关于直线对称．

其中正确的命题是      .（写出所有正确命题的序号）．

【答案】本题摘自2012年长宁二模（理）①②③④

（3）设的定义域为R，且为偶函数，则图像关于__________对称，关于__________对称．

【答案】①②    

（4）设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图像关于y轴对称；②若是偶函数，则图像关于直线对称；③若，则函数图像关于直线对称；④与图像关于直线对称，其中正确命题序号为_______．

【答案】②④    

（5）已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（ ）

A、5、1、1、18

【答案】C    

（6）（2010上海春18）已知函数的图像关于点对称，则点的坐标是（ ）

（A）  （B）   （C） （D）

【答案】C

（7）在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则                                                    (    )

    A.在区间上是增函数，在区间上是增函数

    B.在区间上是增函数，在区间上是减函数

    C.在区间上是减函数，在区间上是增函数

    D.在区间上是减函数，在区间上是减函数

【答案】由可知图像关于对称，又因为为偶函数图像关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图．故选B．

（8）已知函数的图像关于直线和都对称，且当时，．求的值．

【答案】是以4为周期的函数. ，同时还知是偶函数，所以.

（9）（2011年上海高考理）设是定义在上，以周期为1的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为_____________．

【答案】

（10）（上海三模联考）已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,若函数在区间上有四个不同的零点,则

【答案】-8（本题摘自上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）

例2、（上海三模联考）为上的偶函数,为上的奇函数且过,,则__________.

【答案】（本题摘自上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）    

例3、（上海区县二模）函数的定义域为实数集，对于任意的都有.若在区间上函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是……………………………………（    ）.

【答案】本题摘自2014宝山二模（理）D

例4、（上海区县一模）已知函数的定义域是且, ,当时, ．

(1)求证:是奇函数；

(2)求在区间)上的解析式；

(3)是否存在正整数，使得当x∈时,不等式有解?证明你的结论．

【答案】本题摘自2010年长宁一模

(1) 由得,由得,故是奇函数

 (2)当x∈时,，．

而，．

当x∈Z)时,，，

因此．

（3）不等式即为，

即．

令，对称轴为，

因此函数在上单调递增．

因为，又为正整数，

所以，因此在上恒成立，

因此不存在正整数使不等式有解．

例5（上海区县二模）已知函数（，、是常数，且），对定义域内任意（、且），恒有成立．

（1）求函数的解析式，并写出函数的定义域；

（2）求的取值范围，使得．

【答案】（本题摘自2010年嘉定黄埔二模）

解  (1)  ∵，

∴即对使等式有意义的任意x恒成立 ∴． 

于是，所求函数为定义域为． 

(2)  ∵，，

∴，即．

解不等式；解不等式．

∴当时，． 

【课堂练习】

1、★★（上海区县一模）已知函数的定义域为，且对任意，都有．若，则______．

【答案】（本题摘自2012长宁一模文14）

2、★★（上海高考）设是定义在上．以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为          ．

【答案】（本题摘自2011上海高考文13）

3、★（上海区县一模）定义在上的函数，当时，，且对任意的满足（常数），则函数在区间上的最小值是（   ）

【答案】（本题摘自2012虹口一模17）

4、★★定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，,则________．

【答案】

5、★★★★（上海区县二模）已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级类增周期函数，周期为.若恒有成立，则称函数是上的级类周期函数，周期为.

（1）已知函数是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；

（2）已知，是上级类周期函数，且是上的单调递增函数，当时，求实数的取值范围；

（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分.

（Ⅰ）已知当时，函数，若是上周期为4的级类周期函数，且的值域为一个闭区间，求实数的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由.

【解答】本题摘自2012年上海浦东二模题23题

（1）由题意可知：， 

即对一切恒成立， 

∵

∴， 

令，则，

在上单调递增，

∴，

∴. 

（2）∵时，，

∴当时，，

当时， ，

即时，， 

∵在上单调递增，

∴且，

即. 

（3）问题（Ⅰ）∵当时，且有，

∴当时，

，

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

综上可知：或.

问题（Ⅱ）：由已知，有对一切实数恒成立，

即对一切实数恒成立，

当时，； 

当时，  ∵，∴,，于是，

又∵，

故要使恒成立，只有， 

当时， 得到，且；

当时， 得到，

即，； 

综上可知：当时，；

当时，.

【课后练习】

第一块 函数的图像与变换

一、选择题

1、★（上海区县二模）函数的图像的大致形状是          (    )

【答案】D（本题摘自上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）

2、★★（上海区县二模）定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为（ ）.

    ．     ．     ．    ． 

【答案】B；（本题摘自杨浦区2014届高三1月一模，理）

3、★★（上海区县一模）函数的定义域为，值域为，变动时，方程表示的图形可以是                                   （     ）

A． ． ． ．

【答案】B（本题摘自长宁区2014届高三1月一模，理）

4、★★★（上海区县二模）已知以为周期的函数,其中.若方程恰有5个实数解,则的取值范围为 （ ）

     .

 【答案】 B （本题摘自2013届浦东二模卷理科题）

二、填空题

5、★将函数的图象沿轴向右平移1个单位，得图象，图象与关于原点对称，图象与关于直线对称，那么对应的函数解析式是

6、★（上海区县二模）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是           .

【答案】 (本题摘自上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)

7、★★关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值是     ．

【答案】或

8、★★★（上海区县二模）已知函数是偶函数，直线与函数的图像自左至右依次交于四个不同点、、、，若，则实数的值为________．

【答案】（本题摘自嘉定区2014届高三1月一模，理13）  

9、★★（上海区县三模）已知函数有三个不同零点，则实数的取值范围为       ．

【答案】(本题摘自上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)

10、★★（上海区县二模）定义在上的偶函数，对任意的均有成立，当时，则直线与函数的图像交点中最近两点的距离等于         ．

【答案】(本文摘自上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)1

11、★★（上海区县一模）已知函数，若，则实数的取值范围是       ．

【答案】（本文摘自2008学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第10题）

12、★分别作下列函数的图象：

（1）             （2）

（3）                   （4）

【答案】略

13、★★★（上海区县二模）已知函数。

（1）当时，画出函数的大致图像，并写出其单调递增区间；

（2）若函数在上是单调递减函数，求实数的取值范围；

（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

【解析】(本题摘自上海市徐汇区2011年4月高三二模) 

（1）时，的图象如图，图象画出，

单调递增区间为。

（2）解一：设，

当在上单调递减时，对都成立， 

即，对都成立， 所以 

解二：数形结合方法：时， 

若函数在上是单调递减函数，则 

所以 

（3）当时，成立，所以； 

当时，即，只要； 

设，在上递减，在上递增，

当时，； 

所以 

综上，对恒成立的实数的取值范围是。

第二块 函数的周期性与对称性

一、填空题

1、★若函数是偶函数，则的图象关于直线对称。

2、★已知函数图象的对称中心是，则   3    

3、★已知函数，则该函数的对称轴方程为

4、★★设是定义在上的以3为周期的函数，若，则实数a的取值范围是

5、★已知是偶函数，则函数的图象的对称轴方程是

6、★★若函数满足：对于任意的有成立，且当时，，则……+=  0  

7、★函数的图象沿轴正方向平移2个单位，得图象，图象关于轴对称图象为，那么对应的函数解析式是

8、★★定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则至少为  5  。

9、若函数满足，则图象的对称中心是

10、★（1）函数和函数的图象关于直线对称；

（2）函数和函数的图象关于直线对称。

11、★★（上海区县二模）定义在上的函数满足，当时，则当时，函数的最小值为_______________．

【答案】（嘉定区2009年二模）

12、★★（上海区县一模）已知函数既为偶函数，又是以为周期的周期函数，若当时，则当时， ____________．

【答案】(本题摘自上海市卢湾区2008学年高三年级第一次质量调研第9题)

二、解答题

13、★★已知函数的图象与函数的图象关于点对称。

（1）求的值；

（2）若在上为减函数，求a的取值范围。

【答案】（1）   

（2）

14、★★★设上的奇函数，对任意实数x，都有，当时，。

（1）试证：直线x = 1是函数图象的一条对称轴；

（2）证明：函数是以4为周期的函数；

（3）求时，的解析式；

（4）若集合是非空集合，求a的取值范围。

【答案】（1）提示：证明

（2）提示：证明

（3）   

（4）

15、★★★（上海区县二模）已知二次函数对任意均有成立，且函数的图像过点．

（1）求函数的解析式；

（2）若不等式的解集为，求实数的值．

解 （2010年黄埔二模） （1）成立，且图像过点，

化简．此一元一次方程对都成立，于是，即．

进一步可得．  

．

（2），

．于是，解此方程组，得．∴．下载本文