定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

分解因式与整式乘法互为逆变形。 

因式分解的方法：提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法

注意三原则

　　1 分解要彻底

　　2 最后结果只有小括号

　　3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)） 

分解因式技巧

　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

　　2.分解因式技巧掌握：

　　①等式左边必须是多项式；

　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法

⑴提公因式法

　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

　注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式

提公因式法基本步骤：

　　（1）找出公因式；

　　（2）提公因式并确定另一个因式：

　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 

例如：-am+bm+cm=

　　  a(x-y)+b(y-x)=

⑵公式法

　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

　　平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

　　完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；

　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

　　例如：a2 +4ab+4b2 =

⑶分组分解法

　　能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

　　比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)

　　同样，这道题也可以这样做。

　　ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)

　　几道例题：

　　1. 5ax+5bx+3ay+3by

　　2. x3-x2+x-1

　  3. x2-x-y2-y

　⑷十字相乘法

　　这种方法有两种情况。

　　①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 

　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

　　②kx2+mx+n型的式子的因式分解 

　　如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

　　所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

　　十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

多项式因式分解的一般步骤：

　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 

　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 

　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解；

　　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

　　也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”

因式分解练习题

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(4)   (5)  

(6)   (7)  

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(14)  (15) 

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