1）实验目的
•熟悉Matlab编程；
•学习线性方程组迭代解法的程序设计算法
2）实验题目
1.研究解线性方程组Ax=b迭代法收敛速度。A为20阶五对角距阵
要求：
(1)选取不同的初始向量x0 及右端向量b，给定迭代误差要求，用雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代法求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。
(2)用SOR迭代法求解上述方程组，松弛系数ω取1< ω <2的不同值,在
时停止迭代.记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。
2.给出线性方程组，其中系数矩阵为希尔伯特矩阵：
，
假设若取分别用雅可比迭代法及SOR迭代（）求解，比较计算结果。
3）实验原理与理论基础
1.雅克比（Jacobi）迭代法算法设计：
①输入矩阵a与右端向量b及初值x(1,i);
②按公式计算得
2.高斯――赛得尔迭代法算法设计：
1. 输入矩阵a与右端向量b及初值x(1,i).
2. （i = 1, 2,…, n）
3.超松驰法算法设计：
①输入矩阵a与右端向量b及初值x(1,i)。
②,
4）实验内容
第一题实验程序：
1.雅克比迭代法：
function []=yakebi(e)
%输入矩阵a与右端向量b。
for i=1:20
a(i,i)=3;
end
for i=3:20
for j=i-2
a(i,j)=-1/4;
a(j,i)=-1/4;
end
end
for i=2:20
for j=i-1
a(i,j)=-1/2;
a(j,i)=-1/2;
end
end
b=[2.2 1.7 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.7 2.2];
k=1;
n=length(a);
for i=1:n
x(1,i)=1;%数组中没有第0行。
end
while k>=1
for i=1:n
m=0;
%此步也可以用ifj~=i条件判定一下。
for j=1:(i-1)
m=m+a(i,j)*x(k,j);
end
for j=(i+1):n
m=m+a(i,j)*x(k,j);
end
x(k+1,i)=(b(i)-m)/a(i,i);
end
l=0;
%判定满足条件使循环停止迭代。
for i=1:n
l=l+abs(x(k+1,i)-x(k,i));
end
if l end k=k+1; end %输出所有的x的值。 x(k+1,:) k 2.高斯—赛德尔迭代法： function []=gaoshisaideer(e) for i=1:20 a(i,i)=3; end for i=3:20 for j=i-2 a(i,j)=-1/4; a(j,i)=-1/4; end end for i=2:20 for j=i-1 a(i,j)=-1/2; a(j,i)=-1/2; end end b=[2.2 1.7 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.7 2.2]; k=1; n=length(a); for i=1:n x(1,i)=0;%数组中没有第0行。 end while k>=1 for i=1:n p=0;q=0; for j=1:(i-1) p=p+a(i,j)*x(k+1,j); end for j=(i+1):n q=q+a(i,j)*x(k,j); end x(k+1,i)=(b(i)-q-p)/a(i,i); end l=0; %判定满足条件使循环停止迭代。 for i=1:n l=l+abs(x(k+1,i)-x(k,i)); end if l end k=k+1; end %输出所有的x的值。 x(k+1,:) k 3.SOR迭代法程序： function []=caosongci(e,w) for i=1:20 a(i,i)=3; end for i=3:20 for j=i-2 a(i,j)=-1/4; a(j,i)=-1/4; end end for i=2:20 for j=i-1 a(i,j)=-1/2; a(j,i)=-1/2; end end b=[2.2 1.7 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.7 2.2]; k=1; n=length(a); for i=1:n x(1,i)=0;%数组中没有第0行。 end while k>=1 if w>=2||w<=1 '请重新输入w的值，w在1与2之间'; break end for i=1:n p=0;q=0; for j=1:(i-1) p=p+a(i,j)*x(k+1,j); end for j=i:n q=q+a(i,j)*x(k,j); end x(k+1,i)=x(k,i)+w*(b(i)-q-p)/a(i,i); end l=0; %判定满足条件使循环停止迭代。 for i=1:n l=l+abs(x(k+1,i)-x(k,i)); end if l end k=k+1; end %输出所有的x的值。 x(k+1,:) k 第二题实验程序： 1.雅克比迭代法： function X = p211_1_JJ(n) Hn = GET_Hn(n); b = GET_b(n); temp = 0; X0 = zeros(1, n); X_old = zeros(1, n); X_new = zeros(1, n); disp('Now Jacobi method!'); disp('Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T'); for i = 1:n for k = 1:n X_old = X_new; temp = 0; for j = 1:n if(j ~= i) temp = temp + Hn(i, j) * X_old(j); end end X_new(i) = (b(i) - temp) / Hn(i, i); end end X = X_new; end 2.SOR迭代法： function X = p211_1_SOR(n, w) Hn = GET_Hn(n); b = GET_b(n); temp01 = 0; temp02 = 0; X0 = zeros(1, n); X_old = zeros(1, n); X_new = zeros(1, n); disp('Now Successive Over Relaxtion method!'); disp('Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T'); for i = 1:n for k = 1:n X_old = X_new; temp01 = 0; temp02 = 0; for j = 1:n if(j < i) temp01 = temp01 + Hn(i, j) * X_new(j); end if(j > i) temp02 = temp02 + Hn(i, j) * X_old(j); end end end X_new(i) = w * (b(i) - temp01 - temp02) / Hn(i, i) + X_old(i); end X = X_new; end 5）实验结果 第一题实验结果： 1.雅克比迭代法： 输入： >> b=[2.2 1.7 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.7 2.2]; yakebi(0.00001) 结果： ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 12 2.高斯—赛德尔迭代法： 此时初值全取1； 输入： >> b=[2.2 1.7 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.7 2.2]; >> gaoshisaideer(0.00001) 结果：ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 14 此时初值全取1； 输入： >> b=[2.5 1.9 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.9 2.5]; gaoshisaideer(0.00001) 结果： ans = Columns 1 through 12 1.0969 1.0707 1.0219 1.0103 1.0039 1.0016 1.0006 1.0003 1.0001 1.0001 1.0001 1.0001 Columns 13 through 20 1.0003 1.0006 1.0016 1.0039 1.0103 1.0219 1.0707 1.0969 k = 14 3.SOR迭代法： >> caosongci(0.00001,1.1) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 11 >> caosongci(0.00001,1.2) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 12 >> caosongci(0.00001,1.3) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 15 >> caosongci(0.00001,1.4) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 19 >> caosongci(0.00001,1.5) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 25 >> caosongci(0.00001,1.6) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 34 >> caosongci(0.00001,1.7) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 47 >> caosongci(0.00001,1.8) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 73 >> caosongci(0.00001,1.9) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 150 第二题实验结果： 1.雅克比迭代法： >> p211_1_JJ(6) Now Jacobi method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 2.4500 1.1036 0.6265 0.4060 0.2831 0.2071 >> p211_1_JJ(8) Now Jacobi method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 2.7179 1.4101 0.8524 0.5809 0.4221 0.3198 0.2497 0.1995 >> p211_1_JJ(10) Now Jacobi method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = Columns 1 through 9 2.9290 1.6662 1.0517 0.7423 0.5554 0.4315 0.3445 0.2807 0.2325 Column 10 0.1951 2.SOR迭代法： n=6, ω=1,1.25,1.5的时候 >> p211_1_SOR(6, 1) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 2.4500 1.1036 0.6265 0.4060 0.2831 0.2071 >> p211_1_SOR(6, 1.25) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 3.0625 0.2310 0.8704 0.33 0.3141 0.2097 >> p211_1_SOR(6, 1.5) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 3.6750 -1.1009 2.0106 -0.3994 0.7670 -0.0384 与n=8, ω=1,1.25,1.5的时候 >> p211_1_SOR(8, 1) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 2.7179 1.4101 0.8524 0.5809 0.4221 0.3198 0.2497 0.1995 >> p211_1_SOR(8, 1.25) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 3.3973 0.4887 1.08 0.5062 0.4501 0.3203 0.2573 0.2042 >> p211_1_SOR(8, 1.5) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 4.0768 -0.9424 2.2923 -0.2753 0.9252 0.0578 0.4071 0.1275 与n=10, ω=1,1.25,1.5的时候 >> p211_1_SOR(10, 1) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = Columns 1 through 9 2.9290 1.6662 1.0517 0.7423 0.5554 0.4315 0.3445 0.2807 0.2325 Column 10 0.1951 >> p211_1_SOR(10, 1.25) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = Columns 1 through 9 3.6612 0.7098 1.2835 0.6617 0.5807 0.4299 0.3506 0.2844 0.2363 Column 10 0.1984 >> p211_1_SOR(10, 1.5) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = Columns 1 through 9 4.3935 -0.7958 2.5326 -0.1523 1.0720 0.1565 0.5050 0.2041 0.2819 Column 10 0.1766 6）实验结果分析与小结 本次实习主要是学会应用雅克比迭代法、高斯—赛德尔迭代法、SOR迭代法三种迭代法，并且了解三种迭代法的性质以及迭代精度等。 第一题中取的b对于雅克比迭代法、高斯――赛得尔迭代法都是收敛的，对于相同的初值与右端向量明显可以看出高斯――赛得尔迭代法比雅克比迭代法快。由第二题可得出对于SOR迭代方法选择不同的松弛因子，收敛次数大大不同，而当松弛因子为1.1时，在同等条件下迭代最快。下载本文
