【知识要点】

    1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

    2．相似三角形的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

    ②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

    ③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

    3．相似三角形具有下述性质：

    ①相似三角形对应角相等、对应边成比例；

    ②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；

    ③相似三角形周长的比等于相似比；

    ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。

    4．熟悉如图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形。

【典型例题】

例1．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，BM∥CD交CA的延长线于M，求证：OC2 =OA·OM

例2 .  如图，三个正方形组成一个矩形，AB=AG=GH=HD=a，求证：∠AFB+∠ACB=45°。

例3 . 已知CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，E是CD的中点，AE的延长线交BC于F，，垂足是G  ，求证： 

例4．如图，已知△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB。 （1）求证：△ADE∽△EFC。

      （2）如果△ADE和△EFC的面积分别是20和45，求四边形BFED的面积。

例5. 如图所示，△ABC中AB=AC，D为CB的延长线上一点，E为BC延长线上一点，满足AB2=DB·CE。

    （1）求证：△ADB∽△EAC；

    （2）若∠BAC=40°，求∠EAD的大小

例6.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

求证：△AEF∽△ACB                               

例7．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，EF过梯形对角线的交点O，且EF∥AD .（1）求证：OE=OF；    （2）求证：。

课堂练习

1.已知：如图5—32，正方形DE－FG内接于△ABC，AM⊥BC于M交DG于N，BC=18，AM=12.求正方形边长.

2．如图所示，中，，AB=AC=2，点D在BC上，，DE交AC于E，求证：∽。

  3.已知：如图，在△ABC中，AD为中线，F为AB上一点，CF交AD于E

4．如图13，设P是等边△ABC的BC边上任一点，连结AP，作AP的中垂线交AB、AC于M、N。 求证：BP·PC=BM·CN。

5．如图，已知△ABC∽△ADE。求证：△ABD∽△ACE。

6．已知：如图5－22，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F．求证：FD2=FB·FC                   

课后作业

1．如图，已知AB=AD，AC=AE，FG∥DE，求证：△ABC∽△AFG。

2．如图，∠1=∠2，BC与DE交于点O，求证：△ABC∽△ADE。

3．如图，AO⊥OD，点B、C在OD上，且OA=OB=BC=CD，求证：△ABC∽△DBA。

5．如图所示，D、E是等边△ABC的边BC，AC上的点，BD=CE，AD与BE相交于G，AF⊥BE于F，求证：（1）BD2=DG·AD；（2）AG=2GF。下载本文