一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共1０分)
1. 若,则＿_＿___＿___。
2.若齐次线性方程组只有零解,则应满足 。
3.已知矩阵，满足,则与分别是 阶矩阵。
4．矩阵的行向量组线性 。
5．阶方阵满足,则 。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共１0分）
1. 若行列式中每个元素都大于零,则。( )
２. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ )
3. 向量组中，如果与对应的分量成比例,则向量组线性相关。（ ）
4. ,则。( )
5. 若为可逆矩阵的特征值,则的特征值为。 （ )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题２分,共10分)
１． 设为阶矩阵,且，则（ ）。
① ﻩ② ③ ﻩ④ 4
2． 维向量组 (3 ≤ s ≤ n）线性无关的充要条件是( ）。
① 中任意两个向量都线性无关
② 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
③ 中任一个向量都不能用其余向量线性表示
④ 中不含零向量
３. 下列命题中正确的是（ ）。
① 任意个维向量线性相关
② 任意个维向量线性无关
③ 任意个 维向量线性相关
④ 任意个 维向量线性无关
４． 设，均为ｎ 阶方阵,下面结论正确的是( )。
① 若，均可逆，则可逆 ﻩﻩﻩ ② 若,均可逆,则 可逆
③ 若可逆,则 可逆 ﻩ ④ 若可逆，则 ，均可逆
５. 若是线性方程组的基础解系，则是的( ）
① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A的行向量
四、计算题 ( 每小题9分，共6３分)
1. 计算行列式。
解·
2. 设，且 求。
解. ，
3． 设 且矩阵满足关系式 求。
4. 问取何值时,下列向量组线性相关?。
5. 为何值时,线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解。
① 当且时，方程组有唯一解;
②当时方程组无解
③当时,有无穷多组解,通解为
6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
７. 设,求的特征值及对应的特征向量。
五、证明题 (7分)
若是阶方阵，且 证明 。其中为单位矩阵。
×××大学线性代数期末考试题答案
一、填空题
1． 5 ２. 3. ﻩ４. 相关
5.
二、判断正误
１． × ﻩ２． √ ﻩ3. √ 4. √ ﻩ5. ×
三、单项选择题
1. ③ ﻩ2. ③ ３. ③ 4. ② 5. ①
四、计算题
1．
２.
,
3.
4.
当或时，向量组线性相关。
5.
① 当且时，方程组有唯一解;
②当时方程组无解
③当时,有无穷多组解,通解为
6.
则 ,其中构成极大无关组,
7．
特征值，对于λ１=１，,特征向量为
五、证明题
∴， ∵
一、选择题(本题共4小题,每小题4分，满分1６分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1、设，为ｎ阶方阵，满足等式,则必有( ）
(A）或; (B); (Ｃ)或； （D)。
2、和均为阶矩阵,且，则必有（ )
(A） ; (Ｂ); （C) ． （D) 。
３、设为矩阵,齐次方程组仅有零解的充要条件是（ )
(A) 的列向量线性无关; (B) 的列向量线性相关;
(C) 的行向量线性无关; （D) 的行向量线性相关.
4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（ ）
(A） 的秩小于; (B) ;
(C) 的特征值都等于零; (D） 的特征值都不等于零；
二、填空题(本题共4小题，每题4分，满分16分)
5、若4阶矩阵的行列式,是A的伴随矩阵,则＝ 。
６、为阶矩阵,且，则 。
7、已知方程组无解,则 。
８、二次型是正定的，则的取值范围是 。
三、计算题(本题共2小题，每题８分,满分1６分)
9、计算行列式
10、计算阶行列式
四、证明题(本题共２小题,每小题８分,满分16分。写出证明过程）
11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明：
(1） 能有线性表出;
（2) 不能由线性表出。
１2、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵,可逆，且。
证明
(1) ；
（2) 。
五、解答题(本题共３小题,每小题1２分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）
13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。
14、已知方程组与方程组有公共解。
求的值。
15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知，，是它的三个解向量，且
,
求该方程组的通解。
解答和评分标准
一、选择题
１、Ｃ； ２、D； ３、Ａ; 4、Ａ。
二、填空题
5、-１2５; 6、； 7、-1； ８、。
三、计算题
9、解:第一行减第二行，第三行减第四行得：
第二列减第一列,第四列减第三列得： (4分)
按第一行展开得
按第三列展开得
。 （４分）
10、解:把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子,再通过行列式的变换化为上三角形行列式
(4分)
(4分)
四、证明题
1１、证明:
(1)、 因为线性无关,所以线性无关。,
又线性相关,故能由线性表出。 (4分）
,
（2)、(反正法)若不,则能由线性表出,
不妨设。
由（1)知,能由线性表出，
不妨设。
所以,
这表明线性相关，矛盾。
1２、证明
（1)
(4分)
（２)
由（1）得:，代入上式得
(4分）
五、解答题
13、解：
（１）由得的特征值为,,。 (4分)
(2）的特征向量为，
的特征向量为，
的特征向量为。 （３分）
(３）因为特征值不相等,则正交。 (2分)
(4）将单位化得，, (2分)
(5）取
（6） （1分)
1４、解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为
因,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成,即任何一个非零解都是它的基础解系。 (5分)
另一方面，记向量,则
直接计算得,就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为
,。 (7分)
１5、解:将与联立得非齐次线性方程组:
若此非齐次线性方程组有解， 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解.
对③的增广矩阵作初等行变换得:
. (４分）
1°当时,有，方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解,此时
，
则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ,
所以与的全部公共解为，k为任意常数. （４分）
2° 当时，有,方程组有唯一解, 此时
,
故方程组的解为：, 即与有唯一公共解. (4分)
线性代数习题和答案
第一部分 选择题 （共28分)
一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1.设行列式=m,=n，则行列式等于(
A. m+nﻩ ﻩﻩB. －(m+n)
C． ｎ－m ． ｍ-n
２.设矩阵A＝，则Ａ-1等于（ )
A． ﻩﻩ B.
C． ﻩﻩ D.
3.设矩阵A=，Ａ*是Ａ的伴随矩阵,则A *中位于(1，2）的元素是（ )
Ａ. –6 B. ６
C. 2ﻩ D. –２
４.设A是方阵，如有矩阵关系式AB＝AC，则必有（ ）
Ａ. Ａ =0 Ｂ. BC时Ａ＝0
C. A0时B=Cﻩ D． ｜A｜0时B=Ｃ
５.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩(AT）等于( ）
A． １
C． 3 ． 4
6.设两个向量组α1,α2，…,αs和β１,β２,…,βs均线性相关，则（
Ａ.有不全为０的数λ1，λ2,…,λs使λ１α１＋λ2α２+…+λsαs=0和λ１β１+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ１(α1+β１)+λ2(α2+β2)+…＋λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1（α１－β1)+λ2(α２-β2）+…+λs（αｓ-βs）=0
Ｄ.有不全为0的数λ1,λ2，…,λｓ和不全为0的数μ1，μ２,…，μs使λ１α１+λ2α2+…+λｓαｓ=０和μ1β1+μ2β2+…+μsβs＝0
７.设矩阵Ａ的秩为r，则A中（ ）
A．所有r-1阶子式都不为０ﻩ B．所有r－1阶子式全为0
Ｃ.至少有一个r阶子式不等于0 Ｄ.所有r阶子式都不为０
8.设Ax=ｂ是一非齐次线性方程组，η1,η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）
A.η1+η2是Aｘ=0的一个解ﻩ B．η1+η2是Ax=b的一个解
C.η1－η2是Ax=0的一个解 D．２η１-η2是Ax=b的一个解
９.设n阶方阵A不可逆,则必有（ )
A.秩(A)<ｎﻩ B．秩（Ａ)=n－1
C.A=０ﻩ Ｄ．方程组Ax=0只有零解
１0.设A是一个n(≥3）阶方阵,下列陈述中正确的是( )
A.如存在数λ和向量α使Aα＝λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量
B.如存在数λ和非零向量α,使(λＥ-A)α=0,则λ是A的特征值
Ｃ.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
Ｄ．如λ1,λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值,α1，α2,α3依次是A的属于λ1,λ2，λ3的特征向量,则α1,α２，α3有可能线性相关
11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（
A. k≤３ Ｂ. k<3
C． k=3 ｋ>3
12.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是( )
A.|A|2必为1 B.|A｜必为1
Ｃ.A-1=AT Ｄ.A的行（列）向量组是正交单位向量组
1３.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵,B=CTAＣ.则（ )
A.A与Ｂ相似
B. A与B不等价
Ｃ. A与B有相同的特征值
D. A与B合同
14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）
A. B．
C. D．
第二部分 非选择题(共72分）
二、填空题（本大题共1０小题,每小题2分，共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。
１５. .
１6.设A=，B=.则A＋2Ｂ＝ .
17.设Ａ=(aij)3×3，｜A｜＝２，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,ｊ＝1,2,３）,则（a11A21+a12A22+a１３Ａ23）2+(a2１A21+ａ22A２２+a2３A23)２+(a３1A2１+a３2A22+a33Ａ2３)2= .
1８.设向量（2，-3,5）与向量(-４，6，a)线性相关，则ａ= .
19.设A是3×4矩阵,其秩为3，若η1，η２为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为 .
２0．设A是m×n矩阵,A的秩为ｒ(<ｎ),则齐次线性方程组Ａx=0的一个基础解系中含有解的个数为 ．
２１．设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α＋β与α-β的内积（α＋β，α-β)= .
22.设3阶矩阵A的行列式|Ａ|=8，已知A有2个特征值-１和4,则另一特征值为 .
23.设矩阵A=,已知α=是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .
24．设实二次型f(x1,x2,x3,x４,x5)的秩为４,正惯性指数为3，则其规范形为 .
三、计算题(本大题共7小题，每小题6分,共42分）
25.设Ａ=,B＝．求(１）ABＴ;(2)|4Ａ|.
２6.试计算行列式.
2７.设矩阵Ａ=，求矩阵B使其满足矩阵方程AＢ=Ａ＋2Ｂ.
28.给定向量组α1＝，α2=，α３＝，α4=.
试判断α4是否为α1,α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
29.设矩阵A=.
求：（1）秩(A）;
(２）Ａ的列向量组的一个最大线性无关组。
３0.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵Ｄ，使T-1AＴ=D.
３1.试用配方法化下列二次型为标准形
ｆ(x1,ｘ2，ｘ3)=,
并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题（本大题共2小题,每小题5分,共10分)
32．设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆，且（E－A）-1=Ｅ+Ａ+A２.
33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1，ξ２是其导出组Ａｘ=0的一个基础解系．试证明
（1)η１＝η0+ξ１,η２=η0+ξ2均是Aｘ=ｂ的解；
（２）η0，η1,η2线性无关。
答案：
一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分）
1.Dﻩﻩ ４.D Ｃ
6．D ．C ．A ．B
1１.Aﻩﻩﻩ12.Bﻩ ．D ４.C
二、填空题(本大题共１０空,每空2分，共２0分)
15. ６ １6. １7. 4 １8. –10 １9． η1＋ｃ(η２-η１）(或η2+c(η2-η1))，c为任意常数
20． ｎ-r ２1． –５ ２2. –2 ２3. １ 24.
三、计算题(本大题共７小题,每小题6分,共42分)
25.解(１）ＡBT＝=．
(2)|4A|=４３｜A|=|A｜，而
|A|=. 所以｜4A|=·（-２）=-１２８
26．解 ==
27.解 AB＝A+2B即(A-2E)Ｂ＝A，而
(Ａ-2E）-1=
所以 Ｂ=(A－2E）-1A==
2８．解一
所以α4＝２α１+α2＋α３,组合系数为(2,１，1）．
解二 考虑α4=x1α1+x2α２+x3α3，
即
方程组有唯一解(２,1，1）Ｔ,组合系数为（２，1,1).
29.解 对矩阵A施行初等行变换
A=Ｂ.
（1）秩(B）=3,所以秩(A）=秩（B)=３．
(２)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故Ａ的第１、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、２、5列或1、3、4列，或1、3、５列也是）
30.解 Ａ的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=（２,-1，0）T, ξ2=（2，０,１）T． 经正交标准化,得η１＝,η2＝.
λ=-８的一个特征向量为 ξ３＝，经单位化得η３=
所求正交矩阵为 T=. 对角矩阵 D=
（也可取Ｔ＝．)
31.解 f（x１,x2,ｘ3)＝(x1＋2x2-2x3）２-2x22+4x２x3-７ｘ3２＝(ｘ1+2x2-2ｘ３)２-2（x２－ｘ3）2-5x32.
设,即，因其系数矩阵C=可逆,故此线性变换满秩。
经此变换即得f(ｘ１，x2,x3)的标准形 ｙ12-２y22－5ｙ32 .
四、证明题(本大题共2小题，每小题５分,共1０分）
32．证 由于（E－A)(E＋A+A2）=Ｅ-A3=E,
所以E-A可逆,且(Ｅ-A）-1= Ｅ+Ａ+A2 ．
33．证 由假设Ａη0=b，Aξ1=0，Ａξ2＝0.
(1)Aη1＝Ａ(η0+ξ1）=Aη0+Ａξ1=b，同理Aη2= b， 所以η1，η2是Ax=b的２个解。
（２)考虑ｌ0η0+l1η1+l２η2=0， 即 (l0＋l1＋l2）η０+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+ｌ１＋l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾。所以
ｌ１ξ１+l2ξ2=０. 又由假设,ξ1,ξ2线性无关，所以l1=０，l2=0,从而 ｌ０=0 .
所以η０,η１,η２线性无关。
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