极限思想、图验法和棋验法、开方术、筹式演算理论。
1、极限思想：刘徽在证明《九章算术》中的各种公式时，提出了“析理以辞，解体用图”的要求，并创立了对许多问题行之有效的图验法和棋验法。有些问题并非仅仅用棋用图就可以解决的，而是需要具备相当清楚的极限思想。刘徽则把极限思想和极限概念运用于解决实际的数学问题，这是极为重要的。
2、图验法和棋验法：刘徽在解决数学问题时，运用了图验法和棋验法，这两种方法都是通过图形或棋盘上的模型来辅助解决数学问题。
3、开方术：在开方术中，刘徽从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
4、筹式演算理论：刘徽在筹式演算理论方面，先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
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