结论是，收敛函数确实必定有界，但有界性并非必然导致收敛。让我们通过实例来进一步说明这一点。
首先，收敛的一个典型例子是函数f(x)=e^(-x)*sinx，当x趋近于正无穷时，尽管指数部分趋于零，但sinx的周期性导致整体结果在某个范围内震荡，最终趋于0，显示出收敛性，同时也证实了它是有界的。
然而，有界并不必然意味着收敛。例如，函数f(x)=sinx的值域始终在-1到1之间，因此它是有界的，但随着x趋向正无穷，sinx的值并未趋向一个确定的极限，而是反复震荡，这就说明了有界但不收敛的情况。
再看指数函数f(x)=2^x，当x趋于正无穷时，函数的值无地增长，趋于正无穷，这表明函数是无界的，自然也无法收敛。
总的来说，收敛性是函数值逐渐接近一个确定的极限，而有界性仅意味着函数值在一个有限范围内，两者之间存在明显的区别。理解这些概念对于深入分析数学问题至关重要。
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