零点定理的核心在于确保在函数的连续区间内存在一个零点。定理陈述，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)的乘积为负，那么必定存在至少一个实数c，使得f(c)=0。这个结论之所以选择在开区间(a,b)而非闭区间上，是因为考虑了边界点的情况。
当函数在端点a或b处的函数值为0时，零点定理的条件f(a)*f(b)<0将不再成立。实际上，这个条件已经排除了f(a)=0或f(b)=0的情况。闭区间包含了端点，可能导致不准确的结果，因为它暗示了可能存在实际上不存在的零点。因此，零点定理更精确地表述为在开区间(a,b)内存在零点，避免了不必要的假设。
这个原理可以类比于寻找某个函数值的上界。设E={x|f(x)≤0,x∈[a,b]}，由于f(a)为负，E非空且b是其上界。根据确界存在原理，存在ξ=supE，即E的最大值。接下来的证明过程通过排除ξ为f(x)的正值情况，确保了f(ξ)=0，因为ξ必然位于(a,b)区间内，避免了端点的特殊性。
总结来说，零点定理之所以限定在开区间上，是为了确保结论的严谨性和有效性，避免在端点处可能的误导。
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