解：分部积分法的一个经典例子是计算∫xarcsinxdx。
首先，我们应用分部积分法的基本公式，将积分拆分为两个部分：
∫xarcsinxdx = ∫u dv = uv - ∫v du
在这个例子中，我们选择u = x 和 dv = arcsinx dx。接下来，我们计算du 和 v：
du = dx
v = ∫arcsinx dx = -1/2 x^2 arcsinx + C（这里C是积分常数）
现在我们可以应用分部积分公式：
∫xarcsinxdx = x(-1/2 x^2 arcsinx) - ∫(-1/2 x^2 arcsinx) dx
= -1/2 x^3 arcsinx + Cx - ∫(-1/2 x^2) d(arcsinx)
为了继续简化积分，我们再次应用分部积分法，这次选择u = -1/2 x^2 和 dv = d(arcsinx)。计算du 和 v：
du = -x dx
v = ∫d(arcsinx) = x arcsinx - C
再次应用分部积分公式：
∫xarcsinxdx = -1/2 x^2 (x arcsinx) - ∫(x arcsinx) dx + Cx + C
= -1/2 x^3 arcsinx + Cx^2 - ∫x (1/√(1-x^2)) dx
最后一步中的积分是一个标准的反正切函数积分，我们可以找到它的表达式：
∫x (1/√(1-x^2)) dx = 1/2 ln(1-x^2) + C
将这个结果代入之前的积分中，我们得到：
∫xarcsinxdx = -1/2 x^3 arcsinx + Cx^2 - 1/2 ln(1-x^2) + C
这就是∫xarcsinxdx的解，其中C是积分常数。
扩展资料：
分部积分法是微积分学中的一种基本方法，它通过将积分分解为两个部分的差来简化积分计算。这种方法基于微分的乘法法则和微积分基本定理。分部积分法的关键在于找到合适的u和dv，以便通过简单的积分技术求解。常用的分部积分公式被称为“反对幂指三”口诀，它适用于反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数的积分。
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