在解一元二次方程时，我们经常用到判别式Δ来判断方程根的情况。比如，对于方程x2 - 4k - 4 = 0，如果Δ > 0，即16 - 4k - 4 > 0，那么k3。这里我们得到k的取值范围。进一步求得根的乘积x1 * x2 = c/a = k + 1，以及根的和x1 + x2 = b/-a = 4。由此可得k + 1 > 4，即k > 3。但前面我们已知k < 3，所以这种情况不存在。
对于方程1 + m - 2 = 0，我们解得m = 1。代入方程x2 - x - 2 = 0，因式分解得到(x - 2)(x + 1) = 0，进而求得x1 = 2，x2 = -1。
在二次函数S的表达式中，我们得到S = -2x2 + 310x。通过求导得到二次方程2x2 - 310x + 1500 = 0，简化后得到x2 - 155x + 750 = 0。进一步分解因式(x - 5)(x - 150) = 0，求得x1 = 5，x2 = 150。但x2 = 150 > 80，不符合实际情况，故舍去，最终x = 5，即甬道宽5米。
为了计算修甬道的最小费用，我们设修甬道的费用为y1 = 5.7x，总费用为y2 = (S梯 - S) * 0.02 + y1。将S梯和S代入得到2x2 - 25x + 12000 = 0，简化后得到x2 - 12.5x + 6000 = 0。进一步分解因式(x - 6.25)2 + 238.4375 = 0，求得x = 6.25。但x > 6，故舍去，最终x = 6，即甬道宽6米时，费用最少为238.44万元。
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