由题意知y''=1+(y')^2，令y'=p，则y''=p'=dp/dx，于是原方程可以写成：p'=1+p^2。
所以dp/(1+p^2)=dx，对等式两端同时积分得到：arctan p=x+c1（c1为常数）。
即p=tan(x+c1)，y'=tan(x+c1)，所以dy=tan(x+c1) dx。
再对等式两端同时积分得到微分方程的通解为：y= -ln |cos(x+c1)|+c2（c1、c2均为常数）。
在这个过程中，我们首先对原方程进行了变量替换，将一阶导数y'设为p，这样二阶导数y''就可以表示为p'。接着，我们对方程进行了变形，得到了一个关于p的方程p'=1+p^2。通过积分，我们得到了p与x之间的关系。
进一步地，我们解出了p的表达式p=tan(x+c1)，然后通过dy=tan(x+c1) dx，再次进行积分，最终得到了微分方程的通解y= -ln |cos(x+c1)|+c2。
其中，c1和c2是积分常数，分别代表了不同积分曲线的水平平移和垂直平移。
整个求解过程体现了微分方程解法中的变量替换技巧以及积分的基本操作，这对于理解微分方程的解法具有重要意义。
在求解过程中，我们运用了三角函数的性质，特别是反三角函数与三角函数之间的关系。通过这种变换，将复杂的二阶微分方程转化为了一阶微分方程，从而简化了解题过程。
此外，我们还利用了积分的基本性质，通过积分求解出y关于x的表达式。这个过程需要对积分技巧有深刻的理解和掌握。
通过对这个微分方程的求解，我们可以进一步探讨微分方程在物理、工程等领域中的应用，以及它们在数学理论中的重要地位。
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