在几何题目的证明中，我们设BC的延长线上有一点D，这时角BCA的外角为角ACD。已知直线MN与BC平行，因此内错角FCD与CFO相等，内错角BCE与CEO相等。因为角OCF与FCD相等，角BCE与OCE相等，所以角OCF与角OFC相等，角OCE与角OEC相等，从而得出OC=OF，OC=OE，进而得到OE=OF。
从(1)中我们得知OE=OF，接着在四边形AECF中，AC和EF是对角线。当OA=OC时，两条对角线互相平分，因此四边形AECF是平行四边形。由于CE和CF是角的平分线，这意味着角ECF等于角BCE加上角DCF，等于90度。因此，四边形AECF是矩形。
在上述条件下，即当角AEC等于90度时，若四边形AECF是正方形，则AE=EC，由此得出角ACE=角CAE=45度。因此角ACE加上角BCE等于90度。由此可知，当三角形ABC中角C是直角时，四边形AECF是正方形。
在探讨这个问题时，我们发现角BCA的外角角ACD是一个关键元素。通过运用平行线的性质，我们可以证明角OCF与角OFC相等，角OCE与角OEC相等，从而得出OE=OF。同时，我们知道在四边形AECF中，当角AEC等于90度时，如果四边形AECF是正方形，那么AE=EC，进而角ACE=角CAE=45度。
最后，我们得出结论，当三角形ABC中角C是直角时，四边形AECF是正方形。这一结论不仅验证了四边形的性质，也加深了我们对几何图形的理解。
在证明过程中，我们观察到角ECF等于角BCE加上角DCF，即90度。这也进一步证明了四边形AECF是矩形。在这个过程中，我们发现角ACE加上角BCE等于90度，这是证明四边形AECF是正方形的关键。
综上所述，通过几何证明我们可以得出，当三角形ABC中角C是直角时，四边形AECF是正方形。这一结论不仅展示了几何学的美妙，也为我们解决几何题目提供了新的视角和方法。
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