考虑五次方程 (b^2+6b+25)x^5=5bx+b(b+1) 的实根个数问题，我们首先通过换参数的方式，令 a=5/b，将原题转化为新的形式。当 b>0 时，我们观察新方程 (b^2+6b+25)x^5=5bx+b(b+1) 的特性。
设函数 f(x)=(b^2+6b+25)x^5-5bx-b(b+1)，通过求导得到 f'(x)=5(b^2+6b+25)x^4-5b。由 f'(x)=0 可求得 f(x) 的极大值条件，即 x=-[b/(b^2+6b+25)]^(1/4)，此时 f(x) 的极大值为 4b[b/(b^2+6b+25)]^(1/4)-b(b+1)。
接下来，我们证明不等式 b+1≥4[b/(b^2+6b+25)]^(1/4)。经过一系列推导和变形，最终可转化为 (b^3+5b^2+15b-5)^2≥0，这是一个显然成立的不等式。
现在，我们确定实根个数。由于 f(x) 的极大值 f(x1)≤0，我们可以分两种情况讨论：
① 当 b^3+5b^2+15b-5=0，即 b≈0.3 时，函数 f(x)=(b^2+6b+25)x^5-5bx-b(b+1) 有一个二重实零点和 一个一重实零点。这意味着五次方程 (b^2+6b+25)x^5=5bx+b(b+1) 有一个二重实根和一个一重实根。
② 当 b≠-5/3-(2/3)(15√6-35)^(1/3)+(2/3)(15√6+35)^(1/3) 时，函数 f(x)=(b^2+6b+25)x^5-5bx-b(b+1) 只有一个一重实零点。这意味着五次方程 (b^2+6b+25)x^5=5bx+b(b+1) 只有一个单实根。
综上所述，我们根据 b 的取值范围，确定了五次方程的实根个数。这一结论为我们进一步研究和解决类似问题提供了有力的数学工具和方法。
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