矩阵的秩与特征值之间确实存在一定的关系。如果矩阵可以对角化，那么非零特征值的个数等于矩阵的秩。然而，如果矩阵不能对角化，那么这个结论可能不再成立。为讨论方便，假设A为m阶方阵。
证明：设方阵A的秩为n。任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变为形如:
1 0 … 0 … 0
0 1 … 0 … 0
………………
0 0 … 1 … 0
0 0 … 0 … 0
的矩阵，称为矩阵的标准形。本题讨论的是方阵，可以通过一系列初等行变换将矩阵化为标准形，其中主对角线前若干个是1，其余的是若干个0。
线性代数内容前后联系紧密，相互渗透，各知识点之间有着千丝万缕的联系。因此解题方法灵活多变。记住知识点不是难事，但要把握好知识点的相互联系，非得下一番功夫不可。
首先，要把握定理和公式成立的条件，一定要注意同时把某一知识点对应的适用条件掌握好！再者，要弄清知识点之间的纵横联系，还有容易混淆的地方，如矩阵的等价和向量组的等价之间的关系，线性相关与线性表示等。
掌握它们之间的联系与区别，对大家做线性代数部分的大题也有很大的帮助。
参考资料来源：百度百科-特征值
下载本文
