为了利用定积分的概念计算y=x在区间a到b上的面积，我们可以将该区间细分为n个等份，随着n趋向无穷大，每一份的长度将变得无限小。假设每份的长度为(b-a)/n，那么第i份的高就等于i(b-a)/n。由此，我们能够推算出第i份的面积为i(b-a)^2/n^2。
对整个区间而言，所有这些小面积的总和可以表示为(b-a)^2乘以1至n的序列和，除以n的平方，即(b-a)^2[1+2+...+n]/n^2。我们知道1+2+...+n等于n(n+1)/2，因此我们可以进一步简化这个表达式为(b-a)^2[n(n+1)/2]/n^2。
通过化简上述公式，我们得到面积的最终值为(b-a)^2/2。这个结果表明，当区间从a延伸到b时，直线y=x所围成的面积正好是(a与b之间距离的平方)的一半。
这种方法不仅适用于y=x的直线，还可以推广到计算其他函数在指定区间上的面积。通过将区间分割成更小的部分，我们可以更准确地估算这些区域的总面积，最终通过定积分的定义得出精确的结果。
值得注意的是，这种方法的关键在于将区间分割得足够细小，使得每一份的面积近似于函数在该点处的值与该份长度的乘积。随着n趋向无穷大，这种近似就变得越来越精确，从而使得我们能够准确地计算出给定区间上函数曲线与x轴之间的面积。
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