27．（1）由题意知，抛物线顶点N的坐标为（1，-2）。因此，其函数关系式为y＝12(x-1)²-2，即y＝12x²-x-32。
（2）由12x²-x-32＝0解得x＝-1或3，因此A（-1，0）、B（3，0）。由A（-1，0）、M（1，2）可得直线AC的函数关系式为y＝x+1。设P（t，t+1），则Q的坐标为（x，12t²-t-32）。所以PQ＝(t+1)-(12t²-t-32)＝-12t²+2t+52。当t＝2时，PQ有最大值为92，即P点运动至AC的中点时，PQ长有最大值为92。
（3）符合条件的点共有3个，分别为D1(2，3)，D2(1-22，2-22)，D3(1+22，2+22)。
28．（1）若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝23t。则 APAQ＝4t23t＝233。又∵AO＝103，AB＝20，∴ABAO＝20103＝233。∴APAQ＝ABAO。又∠CAB＝30°，∴△APQ∽△ABO。∴∠AQP＝90°，即PQ⊥AC。当5＜t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC。因此，在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC。
（2）①如图，在Rt△APM中，易知AM＝83t3，又AQ＝23t，QM＝203-43t。由AQ+QM＝AM得23t+203-43t＝83t3。解得t＝307。因此，当t＝307时，点P、M、N在一直线上。
②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形。设l交AC于H。如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°。∴MH＝2NH，得203-43t-23t3＝2×83t3。解得t＝2。如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°。∴MH＝2PH，同理可得t＝203。故当t＝2或203时，存在以PN为一直角边的直角三角形。
下载本文
