遇到吉林银行的卡被邮政银行的ATM机吞卡的情况，首先应该拨打吉林银行的客服电话96666，进行口头挂失。这样可以防止卡内资金被非法使用。
然后，你需要前往邮政银行的ATM机，确认吉林银行卡是否真的被吞卡。如果确认卡已经被吞，那么下一步是携带身份证，亲自到吉林银行打印银行卡流水单。有了这张流水单，你就可以按照银行的指引，去ATM机取回卡片。
如果在邮政银行ATM机中未发现卡片，那么就需要你携带身份证，亲自到吉林银行办理正式挂失手续。办理正式挂失后，银行会为你补办新的银行卡。
在整个过程中，记得保管好身份证件，以及吉林银行卡的流水单据，这些都有助于你顺利完成取卡或补卡的流程。
此外，建议在日常使用银行卡时，养成记录银行流水的习惯，这不仅有助于取卡操作，也能在其他情况下提供必要的证明。
希望这些信息能帮助你顺利解决问题，祝你一切顺利。
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