指数分布是一种常用的连续概率分布，通常用于描述随机事件发生的时间间隔。在概率论中，以\(\frac{1}{\theta}\)为参数的指数分布，其期望值为\(\theta\)，方差为\(\theta^2\)。这一结论出自于同济大学第四版概率论教材。
值得注意的是，大多数参考书籍中以\(\lambda\)作为参数的指数分布，其期望值为\(\frac{1}{\lambda}\)，方差同样为\(\left(\frac{1}{\lambda}\right)^2\)。实际上，这两种表述是等价的，因为\(\theta\)和\(\lambda\)仅仅是参数的不同表示形式。
具体来说，如果一个随机变量\(X\)遵循以\(\frac{1}{\theta}\)为参数的指数分布，则其概率密度函数\(f(x)\)可以表示为：
\(f(x) = \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}\)
其中，\(x \geq 0\)。根据定义，指数分布的期望值\(E(X)\)计算公式为：
\(E(X) = \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}} dx = \theta\)
方差\(Var(X)\)的计算公式为：
\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
通过计算可知，\(E(X^2) = 2\theta^2\)，因此：
\(Var(X) = 2\theta^2 - \theta^2 = \theta^2\)
同样地，如果以\(\lambda\)为参数，则参数间的关系为\(\lambda = \frac{1}{\theta}\)，此时期望值为\(\frac{1}{\lambda}\)，方差为\(\left(\frac{1}{\lambda}\right)^2\)，二者计算过程相同。
总之，无论是以\(\frac{1}{\theta}\)还是\(\lambda\)为参数，指数分布的期望值和方差都可以通过上述方法得到，只是参数表示形式的不同。
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