为了求解三重积分∫∫∫z^2dv,我们首先考虑所给定的积分区域。该区域由两个球体界定，分别为x^2+y^2+z^2<=1和x^2+y^2+z^2<=2z。为了简化计算，我们采用球坐标系进行计算。
在球坐标系中，我们有x = r sinφ cosθ，y = r sinφ sinθ，z = r cosφ，其中r是径向坐标，φ是极角，θ是方位角。体积元dV = r^2sinφ drdφdθ。为了方便计算，我们先将原积分区域方程转换为球坐标系下的形式。根据题目给定的条件，我们有r^2 = 2z，即r^2 = 2rcosφ，进一步得到r = 2cosφ。
接下来，我们确定积分范围。由于整个球面在xOy面上，因此φ的取值范围为0到π/2。θ的取值范围为0到2π。r的取值范围由r = 2cosφ给出，即0到2cosφ。
将这些信息代入三重积分的计算公式中，我们得到：
∫∫∫z^2dv = ∫(0,2π)dθ ∫(0,π/2)sinφdφ ∫(0,2cosφ)r^4dr。
接下来，我们对上述积分进行计算。首先计算r的积分部分：
∫(0,2cosφ)r^4dr = (1/5)r^5|(0,2cosφ) = (1/5)(2cosφ)^5 = (32/5)cos^5φ。
接下来计算φ的积分部分：
∫(0,π/2)sinφ * (32/5)cos^5φ dφ = (32/5)∫(0,π/2)sinφcos^5φ dφ。
利用换元法，令u = cosφ，则du = -sinφdφ。因此，积分变为：
(32/5)∫(1,0)u^5(-du) = (32/5)∫(0,1)u^5du = (32/5) * (1/6)u^6|(0,1) = (32/5) * (1/6) = 16/15。
最后，我们计算θ的积分部分：
∫(0,2π)16/15dθ = 16/15θ|(0,2π) = 16/15 * 2π = 32π/15。
因此，三重积分∫∫∫z^2dv的结果为32π/15。
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