求解2×2矩阵(3 1; 1 -3)的50次方，可以采用多种方法。首先，观察该矩阵的幂次，例如A^10=[10 20; 20 10]，这是一个2x2的矩阵。然后，通过乘法得到结果为一个列向量[10x3+20x(-1); 20x3+10x(-1)]=[10;50]。
另一种方法是寻找规律并使用归纳法证明。将矩阵A表示为B+C的形式，其中B、C可以交换，且B的幂次易于计算，C的低次幂等于0。此时A^k=(B+C)^k可以使用二项式公式展开。如果能将矩阵拆成两个矩阵之和，其中一个为单位阵或可对角化，则可以使用牛顿二项式展开。大部分题目中，拆分后牛顿二项式的第三项及以后都为0。
还可以采用特征值特征向量法。通常可以将矩阵拆分为两个矩阵的和，然后使用牛顿二项式展开。这种方法适用于大多数题目。例如，直接将A与自身相乘，寻找规律，再推广到N阶矩阵。
对于求一个m阶矩阵A的n次方的常用方法，可以直接利用二项式定理展开。如果A可以表示为一个对角矩阵与C的和，则可以直接通过A^n=(aE+C)^n用二项式定理展开。另一种方法是利用数学归纳法，先写出前几项A、A^2、A^3等，尝试寻找规律，再用数学归纳法证明结论。
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