1. 对于函数 \( y = \arctan(x) \)，其导数可以通过换元法来求解。
2. 设 \( x = \tan(y) \)，则 \( y = \arctan(x) \) 可以表示为 \( y = \arctan(\tan(y)) \)。
3. 对 \( y \) 求导，根据链式法则，我们有 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2(y)} \cdot \frac{dy}{dy} \)。
4. 由于 \( \frac{dy}{dy} = 1 \)，我们可以简化导数为 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2(y)} \)。
5. 但是，我们需要将结果转换回原始的变量，即 \( x \)。因此，将 \( y \) 替换回 \( \arctan(x) \)。
6. 我们得到 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2(\arctan(x))} \)。
7. 使用三角恒等式 \( \cos^2(\arctan(x)) = \frac{1}{1 + x^2} \)，我们可以进一步简化导数。
8. 因此，\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} \)。
9. 这表明 \( \arctan(x) \) 的导数是 \( \frac{1}{1 + x^2} \)。
10. 扩展资料中提到的求导法则，如线性组合、乘积、商和复合函数的链式法则，都是求解复杂函数导数的基石。
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