1. A是正定的，因此存在正交阵C使得：A=C'DC，这里D是由A的特征值组成的对角矩阵（或者简单理解为D=diag{a1,a2,a3,a4,……an}，其中|A|=a1*a2*……*an，且a1，……，an>0）。
2. 考虑到B、C是行列式为1的正交阵，我们有：
tr(AB)=tr(C'DCB)=tr(DCBC')=tr(DB)=a1b1+a2b2+……+anbn，
这里b1……bn是B的对角线上元素。
3. 引入一个性质：n阶实对称矩阵的行列式小于等于它的对角线元素之积，等式成立当且仅当这个矩阵为对角阵。
4. 1/n*tr(AB)=1/n(a1b1+a2b2+……+anbn)≥(a1b1a2b2……anbn)^(1/n)=det(A)^(1/n)*(b1b2b3……bn)^(1/n)≥det(A)|B|^(1/n)=det(A)，
等号成立当且仅当B为对角阵。得证。
附：上述性质的证明
设A=（a_i,j）是n阶实对称阵，证明|A|≤a11*a22*……*ann。
记X=diag{√a11,√a22,……,√ann}，则B=X'AX是n阶实对称正定矩阵，B的对角线元素是1，tr(B)=n（特征值均为正的）。
|B|=B的特征值之积≤(B的特征值之和/n)^n（Hölder不等式）。
考虑到特征值之和等于方阵的迹，tr(B)=n，|B|≤1，即|X'AX|≤1，化简得到|A|≤a11*a22*……*ann。
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